Twierdzenie sinusów i cosinusów: wzory i kiedy użyć

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów: kiedy którego użyć

Twierdzenie sinusów:

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

, gdzie R to promień okręgu opisanego. Twierdzenie cosinusów:

a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha

. Oba działają w dowolnym trójkącie, nie tylko prostokątnym.

Sprawdzone 18 października 2026

Kiedy które

Boki b = 5, c = 8, kąt między nimi α = 60°. Z twierdzenia cosinusów $a^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac{1}{2}=49$ , więc a = 7.

Z karty CKE: $P=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$ . Dla przykładu powyżej $P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ .

Kąt w twierdzeniu cosinusów musi leżeć między dwoma znanymi bokami.
Twierdzenie sinusów przy szukaniu kąta może dać dwa rozwiązania (ostry i rozwarty), bo sinus kątów α i 180° − α jest taki sam.

1.Zadanie 19, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BOA jest równa A. 50° B. 60° C.…
2.Zadanie 24.2, maj 2026Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ma współrzędne A.…
3.Zadanie 19.2, czerwiec 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa A.…
4.Zadanie 19, maj 2025Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ABO jest równa A. 20° B. 35° C. 40° D.…81%wykonalność
5.Zadanie 15, dodatkowa 2020Punkty A = (80, −1) i B = (−6, −19) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku C jest…
6.Zadanie 29, dodatkowa 2020Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.
7.Zadanie 14, maj 2019Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą tego okręgu.…

Zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniem z klucza. Wykonalność to średni procent punktów zdobytych przez zdających (raporty CKE).

Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi (szukasz trzeciego boku) albo trzy boki (szukasz kąta).

Tak, w dziale „Planimetria” broszury CKE „Wybrane wzory matematyczne”.