Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane)

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

Initially w=3, p=1/3 and charge is 1. (i) Show that the probability a of still running with charge 1 after exactly two ticks is 2/9. (ii) Find the probability b that full charge is reached for the first time on tick 4.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

Under the same w=3, p=1/3 settings, a run is still active at charge 1 after tick 4. State the probability that it is again active at charge 1 after the next two ticks.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

Now let w=4 and p=1/3. Express R₂ in terms of R₁ and R₃.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

For w=4 and p=1/3 it is known that R₁=1/15 and R₃=7/15. Find R₂.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

For general 0<p<1 with p≠q, replace Rₙ by (p+q)Rₙ in the recurrence and prove R_n+1 − R_n = (q/p)(R_n − R_n−1).

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

(i) Use R₀=0 to express R₂−R₁ in terms of p,q,R₁. (ii) Show that R₃ − R₂ = (q/p)²R₁. (iii) Deduce the general expression for Rₙ−Rₙ₋₁.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1g

(i) By adding successive differences, or otherwise, prove $R_n=R_1\sum_{j=0}^{n-1}(q/p)^j$. (ii) Given R₁ = [1 − q/p]/[1 − (q/p)^w], deduce R_n = [1 − (q/p)ⁿ]/[1 − (q/p)^w].

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1h

The upward-tick probability is now 0.498. A run starts with m charge units and stops successfully when it has accumulated 12 additional units, so capacity is w=m+12. Find the smallest positive integer m giving at least an 85% chance of success.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2a

A route has u=4, v=4, w=7. Find t.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

(i) Express $z_1\overline{z_2}$ in terms of a,b,c,d. (ii) Hence express w in these integers.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane10 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Take z₁ = 4 + 8i, z₂ = c + 7i. (i) Show that w=16c−56. (ii) Show that the only possible positive integer c are 4 and 5. (iii) For c=5, find u,v,w,t.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

Use 39 = 1² + 2² + 3² + 5² and the complex construction to find one valid route with t=39.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

For a route define z = (v + wi)/(t − u). Show that the route (48,54,16;74) gives z = (27 + 8i)/13.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2f

For the route (48,54,16;74), the generating numbers also satisfy $z=z_1/z_2=z_1\overline{z_2}/|z_2|^2$. (i) Use t−u to prove c²+d²=13. (ii) Given c>d, find z₁ and z₂.