Zadanie 1f, Paper 3, maj 2026, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
An energy-buffer simulation has integer charge levels 0,1,…,w. While the charge is strictly between 0 and w, each independent tick increases it by one with probability p and decreases it by one with probability q=1−p, where 0<p<1 and p≠q. The simulation stops as soon as charge reaches 0 (shutdown) or w (full charge). Let Rₙ be the probability of reaching w before 0, starting at charge n. Thus R₀=0, R_w=1, and Rn = qRn−1 + pRn+1 for 1 ≤ n ≤ w − 1.
Polecenie
(i) Use R₀=0 to express R₂−R₁ in terms of p,q,R₁. (ii) Show that R3 − R2 = (q/p)2R1. (iii) Deduce the general expression for Rₙ−Rₙ₋₁.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) R₂−R₁=(q/p)(R₁−R₀)=(q/p)R₁. (ii) Apply 1e at n=2, then substitute (i): R₃−R₂=(q/p)(R₂−R₁)=(q/p)²R₁. (iii) Each consecutive difference is multiplied by q/p, starting at R₁−R₀=R₁, so Rn − Rn−1 = (q/p)n−1R1, 1≤n≤w.
Schemat punktowania
(i) A1: (q/p)R₁. (ii) A1: correct one-step difference relation. A1: correct substitution establishing the square. (iii) A1: (q/p)^(n−1)R₁.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact values or three significant figures unless requested otherwise; proofs and numerical solutions require supporting work.