Zadanie 2f, Paper 3, maj 2026, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A robot makes three consecutive mutually perpendicular moves of positive integer lengths u,v,w. Its straight-line distance from start to finish is a positive integer t, so u2 + v2 + w2 = t2. Such a route is recorded as (u,v,w;t). One way to construct routes uses z1 = a + bi, z2 = c + di, where a,b,c,d are positive integers: u = ∣z1∣2 − ∣z2∣2, , , and t = ∣z1∣2 + ∣z2∣2. Only choices with u,v,w>0 are allowed.
Polecenie
For the route (48,54,16;74), the generating numbers also satisfy . (i) Use t−u to prove c²+d²=13. (ii) Given c>d, find z₁ and z₂.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) t−u=(|z₁|²+|z₂|²)−(|z₁|²−|z₂|²)=2|z₂|²=2(c²+d²). Thus 74−48=2(c²+d²), so c²+d²=13. (ii) Positive integers with c>d give c=3,d=2. The product relation gives 3a+2b=27 and 3b−2a=8. Solving yields a=5,b=6, so z₁=5+6i,z₂=3+2i. Equivalently multiply z=(27+8i)/13 by 3+2i.
Schemat punktowania
(i) A1: derive t−u=2|z₂|². A1: correct numerical substitution establishing c²+d²=13; no marks for simply assuming this norm. (ii) A1: c=3,d=2. A1: the correct two equations for a,b, or correct equivalent complex multiplication setup. M1: solve the equations or multiply. A1: a=5,b=6. A1: both complete complex numbers.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact values or three significant figures unless requested otherwise; proofs and numerical solutions require supporting work.