Zadanie 11d, Paper 1, listopad 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2023, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 11(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Consider for −π/8 < x < 5π/8. Angles are in radians.
Polecenie
Find, through x⁴, the Maclaurin expansions of (i) cos4x; (ii), using (i); (iii) F(x), using (ii).
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i). (ii) Put u=−8x²+(32/3)x⁴+O(x⁶); then eᵘ=1+u+u²/2+… gives 1 − 8x2 + (128/3)x4 + O(x6). (iii) Since F=e·e^(cos4x−1)+cos4x, F = (e + 1) − 8(e + 1)x2 + [(128e + 32)/3]x4 + O(x6).
Schemat punktowania
(i) M1:substitute 4x into the cosine series. A1:correct terms through x⁴. (ii) M1:substitute cos4x−1 into the exponential series. A1:correct contributions u+u²/2 through degree 4. A1:simplified expansion with coefficient 128/3. (iii) A1:correct complete F expansion, including the added cosine. In (ii), an equivalent product expansion e^(−8x²)e^((32/3)x⁴) earns M1 for expanding either factor, A1 for a correct product through degree 4, A1 for the simplified result. Substituting cos4x rather than cos4x−1 into the unit-centred exponential series does not earn that substitution method mark.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact answers and show the algebra, proof or calculus requested.