Informacja do zadań 2a-2j. A design uses n positive dimensionless parameters x_1,…,x_n. Each parameter consumes one unit of setup resource plus x_j² units of variable resource. The total budget is n+∑j=1ⁿ xj²=S. For S>1 and positive integer n 0 by ln g(x)=(x/2)ln (S/x-1) on 0<x<S. Zadanie 2d. (i) Show that the arithmetic and geometric means of z_j=x_j² are equal when all parameters x_j are equal. (ii) Prove Mₙ(S)=(S/n-1)^(n/2) for every admissible n.

(i) For an arbitrary common value c>0, all z_j=c²; their geometric mean is[(c²)^n]^(1/n)=c² and their arithmetic mean is nc²/n=c². (ii) The budget gives Σx_j²=S−n. Applying AM–GM to the squares yields (∏ xj²)^(1/n) ≤ (S-n)/n=S/n-1. Both sides are positive because n<S. Raising to n/2 gives ∏ xj ≤ (S/n-1)^(n/2). Equality is achieved by all x_j=√(S/n−1), satisfying both setup and variable resource costs. Hence the bound is the attainable maximum.

Zadanie 2d, Paper 3, maj 2023, TZ1, Matematyka AA IB HL

6 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 3, maj 2023, TZ1

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

A design uses n positive dimensionless parameters x_1,…,x_n. Each parameter consumes one unit of setup resource plus x_j² units of variable resource. The total budget is $n+\sum_{j=1}^n x_j^2=S$ . For S>1 and positive integer n<S, let M_n(S) be the largest achievable product x_1⋯x_n, and let P(S) be the largest M_n(S) over all admissible integers n. Initially take n=2 and S=18. You may use AM–GM: for positive z_j, $(\prod z_j)^{1/n}\le(\sum z_j)/n$ . For continuous comparison define g(x)>0 by ln g(x) = (x/2)ln(S/x − 1) on 0<x<S.

Polecenie

(i) Show that the arithmetic and geometric means of z_j=x_j² are equal when all parameters x_j are equal. (ii) Prove M_n(S) = (S/n − 1)^n/2 for every admissible n.

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Ocena AI

Pro

Zdjęcie kartki albo tekst. Punkty według schematu CKE.

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

3 darmowe sprawdzenia po założeniu konta, bez karty.

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

(i) For an arbitrary common value c>0, all z_j=c²; their geometric mean is[(c²)^n]^(1/n)=c² and their arithmetic mean is nc²/n=c². (ii) The budget gives Σx_j²=S−n. Applying AM–GM to the squares yields $(\prod x_j^2)^{1/n}\le(S-n)/n=S/n-1$ . Both sides are positive because n<S. Raising to n/2 gives $\prod x_j\le(S/n-1)^{n/2}$ . Equality is achieved by all x_j=√(S/n−1), satisfying both setup and variable resource costs. Hence the bound is the attainable maximum.

Schemat punktowania

(i) M1:use an arbitrary common positive parameter. A1:both means simplify to its square. (ii) A1:identify the remaining squared-parameter sum S−n. M1:apply AM–GM to those squares. M1:derive the product bound. R1:show equality is attainable within the budget.

Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Show proof steps. Give exact expressions where requested and otherwise three significant figures.

Umiejętności w zadaniu

Direct algebraic arguments Ćwicz podobne