Zadanie 2j, Paper 3, maj 2023, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(j). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A design uses n positive dimensionless parameters x_1,…,x_n. Each parameter consumes one unit of setup resource plus x_j² units of variable resource. The total budget is . For S>1 and positive integer n<S, let M_n(S) be the largest achievable product x_1⋯x_n, and let P(S) be the largest M_n(S) over all admissible integers n. Initially take n=2 and S=18. You may use AM–GM: for positive z_j, . For continuous comparison define g(x)>0 by ln g(x) = (x/2)ln(S/x − 1) on 0<x<S.
Polecenie
Use the continuous maximum to find the largest attainable product for budget 120. Express it as a×10^k, with 1≤a<10 and positive integer k.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
The continuous optimizer is λ·120≈26.13740469. Compare n=26 and 27: M_26(120)=(120/26−1)^13=1.8030533336…×10⁷ and M_27(120)=(120/27−1)^(27/2)=1.7828261244…×10⁷. Therefore the largest product is 1.80×10⁷, achieved with 26 equal parameters √(120/26−1).
Schemat punktowania
M1:useλ·120 to locate the neighbouring integers 26 and 27. R1:compare both integer products. A1:1.80×10⁷; this accuracy mark depends on using the continuous maximum but not on earning the explicit comparison mark.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Show proof steps. Give exact expressions where requested and otherwise three significant figures.