Informacja do zadań 1a-1f. For x≥0 and positive integers n, define fₙ(x)=x²ⁿ⁺¹e^(-x²). Let Aₙ=∫₀^∞ fₙ(x) dx, interpreted as limb → ∞ ∫₀^b fₙ(x) dx. For n=1, f_1(x)=x³e^(−x²). You may assume these improper integrals exist. Zadanie 1b. For b>0, show that the area under f_1 from 0 to b is (e^(b²)-b²-1)/(2e^(b²)).

The area is ∫₀^b x³e^(-x²) dx. Use parts with u=x² and dv=xe^(−x²)dx, so v=−e^(−x²)/2. This gives [-x²e^(-x²)/2]₀^b+∫₀^b xe^(-x²) dx=[-x²e^(-x²)/2-e^(-x²)/2]₀^b=[1-(b²+1)e^(-b²)]/2, equal to the stated quotient. The substitution z=x² followed by parts is equivalent.

Zadanie 1b, Paper 3, maj 2023, TZ1, Matematyka AA IB HL

6 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 3, maj 2023, TZ1

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ1, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

For x≥0 and positive integers n, define f_n(x) = x²ⁿ⁺¹e^−x². Let $A_n=\int_0^\infty f_n(x)\,dx$ , interpreted as $\lim_{b\to\infty}\int_0^b f_n(x)\,dx$ . For n=1, f_1(x)=x³e^(−x²). You may assume these improper integrals exist.

Polecenie

For b>0, show that the area under f_1 from 0 to b is (e^b² − b² − 1)/(2e^b²).

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Ocena AI

Pro

Zdjęcie kartki albo tekst. Punkty według schematu CKE.

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

3 darmowe sprawdzenia po założeniu konta, bez karty.

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

The area is $\int_0^b x^3e^{-x^2}\,dx$ . Use parts with u=x² and dv=xe^(−x²)dx, so v=−e^(−x²)/2. This gives $[-x^2e^{-x^2}/2]_0^b+\int_0^b xe^{-x^2}\,dx=[-x^2e^{-x^2}/2-e^{-x^2}/2]_0^b=[1-(b^2+1)e^{-b^2}]/2$ , equal to the stated quotient. The substitution z=x² followed by parts is equivalent.

Schemat punktowania

A1:correct area integral and limits. A1:correct parts boundary term. A1:correct remaining integral and sign. A1:correct integration of that remaining term. M1:evaluate the limits. A1:correct evaluated expression establishing the supplied quotient. A substitution-based solution earns corresponding marks for its two integration stages. Condone missing limits during intermediate integration. No extra restatement of the supplied quotient is needed once an equivalent evaluated expression is established.

Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Show proof steps. Give exact expressions where requested and otherwise three significant figures.

Umiejętności w zadaniu

Substitution and integration by parts Ćwicz podobne