Apply integration by parts, including repeated applications, and substitution. Beyond reverse-chain-rule forms, use the substitution supplied in the question.
Tę umiejętność sprawdza 19 zadań wzorowanych na arkuszach IB z lat 2022–2026.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ3 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence or otherwise evaluate ∫ ( x 3 + sin 3 x ) 5 ( x 2 + cos 3 x ) d x \int(x^3+\sin3x)^5(x^2+\cos3x)\,dx ∫ ( x 3 + sin 3 x ) 5 ( x 2 + cos 3 x ) d x .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use 9a and the substitution u=cos2x to evaluate ∫ csc 2 x d x \int\csc2x\,dx ∫ csc 2 x d x .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ1 wzorowane 8 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
A differentiable function satisfies d y d x = 2 x − y x + y \frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+y} d x d y = x + y 2 x − y , with x > 0 and y ≠ −x , and passes through (3, 0) . Use y = v x to show that its solution satisfies 2x 2 − 2x y − y 2 = 18 .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Show that for a > 0, ∫ 2 2 + a f ( t ) d t = k 4 [ 1 − ( 2 a + 1 ) e − 2 a ] \int_2^{2+a}f(t)\,dt=\frac k4[1-(2a+1)e^{-2a}] ∫ 2 2 + a f ( t ) d t = 4 k [ 1 − ( 2 a + 1 ) e − 2 a ] .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
For n > 1, factor the integrand as sin n − 1 x sin x \sin^{n-1}x\sin x sin n − 1 x sin x and show that I n = − sin n − 1 x cos x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n I_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n I n = − sin n − 1 x cos x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Hence show, for n > 1, that I n = − 1 n sin n − 1 x cos x + n − 1 n I n − 2 I_n=-\frac1n\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2} I n = − n 1 sin n − 1 x cos x + n n − 1 I n − 2 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence find I 4 in the form p sin 3 x cos x + q sin x cos x + r x + C p\sin^3x\cos x+q\sin x\cos x+rx+C p sin 3 x cos x + q sin x cos x + r x + C , where p , q , r are rational constants.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ3 wzorowane 6 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find ∫ ( x 2 − 4 ) e 2 x d x \displaystyle\int(x^2-4)e^{2x}\,dx ∫ ( x 2 − 4 ) e 2 x d x .
Matematyka AA IB Paper 3, listopad 2025, TZ3 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use integration by parts to show that I = (1 + a 2 )π /8 − a .
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Use integration by parts to find ∫ arcsin x d x \int\arcsin x\,dx ∫ arcsin x d x .
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2025, TZ1 wzorowane 6 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
(i) Show that k 2 arcsin ( k 2 ) + 1 − k 4 − 4 / 3 = 0 k^2\arcsin(k^2)+\sqrt{1-k^4}-4/3=0 k 2 arcsin ( k 2 ) + 1 − k 4 − 4/3 = 0 . (ii) Find k to six significant figures.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2023, TZ1 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
For b>0, show that the area under f_1 from 0 to b is (e b ²b 2 − 1)/(2e b ² .
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2023, TZ1 wzorowane 8 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Prove the conjecture by mathematical induction. You may assume lim x → ∞ x m e − x 2 = 0 \lim_{x\to\infty}x^me^{-x^2}=0 lim x → ∞ x m e − x 2 = 0 for every fixed m≥0.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Using a suitable substitution, show that ∫ sin x d x = 2 sin x − 2 x cos x + C \int\sin\sqrt x\,dx=2\sin\sqrt x-2\sqrt x\cos\sqrt x+C ∫ sin x d x = 2 sin x − 2 x cos x + C .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ2 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the area of R_n exactly as a function of n.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2023, TZ1 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find ∫ x 2 ( ln x ) 2 d x \int x^2(\ln x)^2\,dx ∫ x 2 ( ln x ) 2 d x .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2023, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find ∫ x 2 ( ln x ) 2 d x \int x^2(\ln x)^2\,dx ∫ x 2 ( ln x ) 2 d x .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Using u=csc x or otherwise, evaluate ∫ π / 6 π / 2 csc n x cot x d x \int_{\pi/6}^{\pi/2}\csc^n x\cot x\,dx ∫ π /6 π /2 csc n x cot x d x in terms of the nonzero real parameter n.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2022 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Express a in terms of b.