Zacznij za darmoZacznij

Zadanie 12a, Paper 1, maj 2025, TZ1, Matematyka AA IB HL

4 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 1, maj 2025, TZ1

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2025, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(a). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

For nonnegative integers n, define In=∫sin⁡nx dxI_n=\int\sin^n x\,dx. Constants of integration are understood when relating indefinite integrals.

Polecenie

For n > 1, factor the integrand as sin⁡n−1xsin⁡x\sin^{n-1}x\sin x and show that In=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)In−2−(n−1)InI_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n.

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

Use integration by parts with u=sin⁡n−1xu=\sin^{n-1}x, dv=sin⁡x dxdv=\sin x\,dx. Then du=(n−1)sin⁡n−2xcos⁡x dxdu=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx and v=−cos⁡xv=-\cos x. Thus In=−sin⁡n−1xcos⁡x+(n−1)∫sin⁡n−2xcos⁡2x dxI_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx. Replacing cos⁡2x\cos^2x by 1−sin⁡2x1-\sin^2x gives the required relation.

Schemat punktowania

M1: integration by parts with the specified factors. A1: correct negative product term. A1: correct positive remaining integral. A1: Pythagorean identity and splitting to obtain the result.

Komentarz. Paper 1: solve without a calculator. Equivalent exact forms and valid alternative methods are accepted unless a method is specified.

Umiejętności w zadaniu

Pliki cookies

Zapisujemy na Twoim urządzeniu to, bez czego serwis nie działa, np. zalogowanie. Plików analitycznych użyjemy tylko za Twoją zgodą. Szczegóły w polityce prywatności.