Informacja do zadań 12a-12e. For nonnegative integers n, define Iₙ=∫sinⁿ x dx. Constants of integration are understood when relating indefinite integrals. Zadanie 12e. For positive integers n, define Hₙ(x)=(1+sin x)ⁿ. (i) Find its Maclaurin expansion through the term in x². (ii) Hence or otherwise find limx → 0 (Hₙ(x)-1-nx)/x² in terms of n.

(i) Since sin x=x+O(x³), the binomial expansion gives Hₙ(x)=1+nx+(n(n-1))/2x²+O(x³). (ii) Subtract 1+nx and divide by x²; the limit is (n(n-1))/2. This includes n=1, when the limit is zero. Equivalently Hₙ(0)=1, Hₙ (0)=n and Hₙ (0)=n(n-1).

Zadanie 12e, Paper 1, maj 2025, TZ1, Matematyka AA IB HL

5 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 1, maj 2025, TZ1

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2025, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(e). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

For nonnegative integers n, define $I_n=\int\sin^n x\,dx$ . Constants of integration are understood when relating indefinite integrals.

Polecenie

For positive integers n, define $H_n(x)=(1+\sin x)^n$ . (i) Find its Maclaurin expansion through the term in x².

(ii) Hence or otherwise find $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{H_n(x)-1-nx}{x^2}$ in terms of n.

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Ocena AI

Pro

Zdjęcie kartki albo tekst. Punkty według schematu CKE.

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

3 darmowe sprawdzenia po założeniu konta, bez karty.

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

(i) Since $\sin x=x+O(x^3)$ , the binomial expansion gives $H_n(x)=1+nx+\frac{n(n-1)}2x^2+O(x^3)$ . (ii) Subtract 1 + nx and divide by x²; the limit is $\frac{n(n-1)}2$ . This includes n = 1, when the limit is zero. Equivalently H_n(0) = 1, H_n′(0) = n and H_n′′(0) = n(n − 1).

Schemat punktowania

(i) M1: use the sine series with the binomial expansion, or differentiate twice. A2: correct complete expansion through x squared; with differentiation, A1 for the correct second derivative at zero and A1 for the resulting expansion. (ii) M1: substitute the series or use a valid limit method. A1: n(n-1)/2, including the case n=1. No follow-through final mark for an expression independent of n.

Komentarz. Paper 1: solve without a calculator. Equivalent exact forms and valid alternative methods are accepted unless a method is specified.

Filtry

Zadanie 12e, Paper 1, maj 2025, TZ1, Matematyka AA IB HL

Zadanie

Korepetytor

Sprawdź się

Jak poszło?

Jak poszło?

Ocena AI

Odpowiedź z klucza

Schemat punktowania

Umiejętności w zadaniu

Jak poszło?

Ocena AI