Matematyka AA IB HL — maj 2025, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane)

Zadania wzorowane na pytaniach z tego arkusza: te same umiejętności, format i punktacja, inne dane i kontekst. Treści arkusza IB nie publikujemy.

W bazie 28 zadań z tego arkusza, razem 110 punktów, każde z kluczem i schematem punktowania.

IB Mathematics AA (egzaminy od 2021) · 28 zad. w bazie

Rozwiąż arkuszwynik na końcuDodaj cały arkusz do zestawu

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1

The curve y = h(x) is defined for real x by $h(x)=\frac23(x-1)^3-18(x-1)+4$ . Its local minimum is M(a, b), with a > 1. Find a and b.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane1 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2a

Write down r.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2b

Expand (1 + t)⁴ and collect like powers of t.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2c

Hence or otherwise, find the balance after one year, rounded to the nearest dollar.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3

A region is bounded above by y = 1 + e^2x, below by y = 1 − 2e^2x, and by the vertical lines x = 0 and x = ln 2. Find its exact area.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4a

Find $P(C\cap D)$ .

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4b

Show that C and D are independent.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

(i) Show that $A_n=18\left(\frac{16}{9}\right)^{n-1}$ . (ii) Hence find the mean of the eight areas in the form $p\left[\left(\frac{16}{9}\right)^a-1\right]$ , where p is a positive rational number and a is a positive integer.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5b

Find the median area in the form $q\left(\frac{16}{9}\right)^3$ cm², with q a positive rational number.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Two lines in three-dimensional space are $\ell: \mathbf r=(5,1,2)+s(0,a,2)$ and $m: \mathbf r=(1,-1,b)+t(2,3,1)$ , where $s,t\in\mathbb R$ . They intersect and their directions are perpendicular. Find the constants a and b.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane1 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7a

Write 5 as e^k for real k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7b

Hence find (i) $\operatorname{Re}(w)$ and (ii) $\operatorname{Re}(1/w)$ . Express each as $p\cos(\ln q)$ with positive rational p, q.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8a

Show that 1 + log₃(2n + 1) ≥ log₃(2n + 3) for every positive integer n.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8b

Prove the proposed inequality by mathematical induction, using part (a).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

A differentiable function satisfies $\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+y}$ , with x > 0 and y ≠ −x, and passes through (3, 0). Use y = vx to show that its solution satisfies 2x² − 2xy − y² = 18.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10a

Write f(x) in the form a(x − h)² + k, with integer constants a, h, k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10b

Sketch y = f(x). Label the vertex and every intercept with a coordinate axis.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10c

Solve f(x) ≤ 24.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10d

(i) Write an expression for (f∘g)(x). (ii) Solve (f∘g)(x) ≤ 24.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10e

Find the domain of g∘f.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11a

Show that the acute angle between the two panels is 60°.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11b

Find a Cartesian equation for Π₃.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Within the cross-section, a triangular brace has vertices R, P, Q, with P on the first panel and Q on the second. It occupies the acute wedge between the panels. The angle RPQ is 45° and RP = 8 cm. (i) Using a compound-angle identity, show that…

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

For n > 1, factor the integrand as $\sin^{n-1}x\sin x$ and show that $I_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$ .

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

Hence show, for n > 1, that $I_n=-\frac1n\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ .

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Hence find I₄ in the form $p\sin^3x\cos x+q\sin x\cos x+rx+C$ , where p, q, r are rational constants.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12d

The region $0\leq x\leq\sin^2y$ , 0 ≤ y ≤ π/2, is revolved through one full turn about the y-axis. Find the exact volume.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

For positive integers n, define $H_n(x)=(1+\sin x)^n$ . (i) Find its Maclaurin expansion through the term in x². (ii) Hence or otherwise find $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{H_n(x)-1-nx}{x^2}$ in terms of n.