Dot products and vector angles

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9a

Prove that $\mathbf w\cdot\mathbf p=0$.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9b

Assume $\mathbf q\times\mathbf r\ne\mathbf0$. (i) Explain why $\mathbf q\cdot(\mathbf q\times\mathbf r)=0$. (ii) Prove that $\mathbf w\cdot(\mathbf q\times\mathbf r)=0$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11d

The housing rotates about the fixed point V so that P moves to P′ = (1, −9, 13). Find $\angle PVP\prime$ in degrees.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its centre. The north pole P and station N have vectors $\mathbf p=(0,0,5)$ and $\mathbf n=(0,5,0)$. The positive x direction points west…

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its centre. The north pole P and station N have vectors $\mathbf p=(0,0,5)$ and $\mathbf n=(0,5,0)$. The positive x direction points west…

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its centre. The north pole P and station N have vectors $\mathbf p=(0,0,5)$ and $\mathbf n=(0,5,0)$. The positive x direction points west…

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2f

The method defines the spherical angle at W as the angle between the normals $\mathbf w\times\mathbf p$ and $\mathbf w\times\mathbf m$. In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its…

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Two lines in three-dimensional space are $\ell: \mathbf r=(5,1,2)+s(0,a,2)$ and $m: \mathbf r=(1,-1,b)+t(2,3,1)$, where $s,t\in\mathbb R$. They intersect and their directions are perpendicular. Find the constants a and b.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6a

Find (i) $\mathbf a\cdot\mathbf c$; (ii) $\mathbf b\cdot\mathbf c$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6b

The angle between $\mathbf a$ and $\mathbf c$ equals the angle between $\mathbf b$ and $\mathbf c$. Find p.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7b

Find the angle made by the descending flight path with the horizontal, in degrees.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11a

Show that the acute angle between the two panels is 60°.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11e

Plane P₂ is 2x + y + z = 4. Prove that the acute angle θ between P₁ and P₂ satisfies $\cos\theta=1/6$.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

Prove that angle BCA is a right angle.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10d

A point N on L₂ has position vector (−1, 2, 0) + μ(3, −2, 1). Find $\overrightarrow{PN}\cdot\overrightarrow{AB}$ in terms of μ.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10e

N is the point of L₂ nearest to P. Find its coordinates.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12a

Use the magnitude definitions of dot and cross products to prove $(\mathbf u\cdot\mathbf v)^2+|\mathbf u\times\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ1wzorowane13 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

Find (i) |u×v|; (ii) |u|; (iii) all possible pairs (p,q).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12c

Take p=1. A new point D defines $\mathbf w=\overrightarrow{CD}$ with $\mathbf u\cdot\mathbf w=\mathbf v\cdot\mathbf w=0$. The area of triangle ACD is $\sqrt{70}$. Find both possible vectors w.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

Find λ when OP is perpendicular to AB.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2024wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

Find the minimum distance from O to L.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6b

Find the point on L nearest to the origin. Use $\mathbf r=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,1)$ for L.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Use a vector method to show that $|\mathbf a|^2(5+12u\cos\theta-9u^2)/4=0$.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Find all θ for which there are two distinct possible positions of M on AB.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Show that $4t=\sqrt{10t^2+8t+8}$.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Hence or otherwise, find the shortest distance from A to L_1.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1b

Find angle BVC.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1b

Find angle BVC.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7c

Find q=(x,y), with x,y>0, such that |q|=13 and q is perpendicular to a.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Find the acute angle between their paths, in degrees.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7a

Express cosθ in terms of n.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7b

Find the exact limit of θ as n tends to infinity.