Zadanie 12b, Paper 2, maj 2024, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2024, TZ1, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 12(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For nonzero vectors u,v let θ be their angle. In triangle ABC, A = (1, −1, 2), B = (p, q, 3) and C = (3, 2, 1), where p,q are rational. Define and . It is given that and the triangle area is .
Polecenie
Find (i) |u×v|; (ii) |u|; (iii) all possible pairs (p,q).
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Twice the area gives |u×v|=3√5. (ii) v=(2,3,−1), so |v|=√14. The identity gives 25+45=14|u|², hence |u|=√5. (iii) u=(p−1,q+1,1). Its dot product with v is 2p+3q=5. Its squared length gives (p−1)²+(q+1)²=4. Put q=(5−2p)/3. Substitution simplifies to 13p²−50p+37=0=(p−1)(13p−37). Thus (p,q)=(1,1) or (37/13,−3/13). Direct use of the cross-product magnitude gives the same quadratic.
Schemat punktowania
(i) A1:3√5. (ii) A1:v=(2,3,−1). A1:|v|=√14. M1:substitute into the identity. A1:|u|=√5. (iii) A1:u=(p−1,q+1,1). M1:apply the dot-product condition. A1:2p+3q=5. M1:apply the length or cross-product condition. M1:eliminate one variable to form a quadratic. A1:correct quadratic 13p²−50p+37=0 or equivalent. A1:p=1,37/13. A1:correspondingq=1,−3/13; explicit pairing is preferred but correct lists are accepted under the source cap.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Unless stated otherwise give exact answers or three significant figures, retaining unrounded intermediate values.