Calculate vector products, interpret their direction and magnitude, and use them to determine areas and parallelism.
Tę umiejętność sprawdza 26 zadań wzorowanych na arkuszach IB z lat 2022–2026.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Assume q × r ≠ 0 \mathbf q\times\mathbf r\ne\mathbf0 q × r = 0 . (i) Explain why q ⋅ ( q × r ) = 0 \mathbf q\cdot(\mathbf q\times\mathbf r)=0 q ⋅ ( q × r ) = 0 . (ii) Prove that w ⋅ ( q × r ) = 0 \mathbf w\cdot(\mathbf q\times\mathbf r)=0 w ⋅ ( q × r ) = 0 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Also assume p × ( q × r ) ≠ 0 \mathbf p\times(\mathbf q\times\mathbf r)\ne\mathbf0 p × ( q × r ) = 0 . Hence identify and justify the geometric relationship between this vector and w.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
The housing rotates about the fixed point V so that P moves to P ′ = (1, −9, 13). Find an equation of the plane through P, V and P′, with integer coefficients.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ2 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find (i) A B → × A C → \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} A B × A C ; (ii) hence or otherwise the area of ABC.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2025, TZ2 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its centre. The north pole P and station N have vectors p = ( 0 , 0 , 5 ) \mathbf p=(0,0,5) p = ( 0 , 0 , 5 ) and n = ( 0 , 5 , 0 ) \mathbf n=(0,5,0) n = ( 0 , 5 , 0 ) . The positive x direction points west…
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2025, TZ2 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its centre. The north pole P and station N have vectors p = ( 0 , 0 , 5 ) \mathbf p=(0,0,5) p = ( 0 , 0 , 5 ) and n = ( 0 , 5 , 0 ) \mathbf n=(0,5,0) n = ( 0 , 5 , 0 ) . The positive x direction points west…
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2025, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
The method defines the spherical angle at W as the angle between the normals w × p \mathbf w\times\mathbf p w × p and w × m \mathbf w\times\mathbf m w × m . In the spherical model the world has radius 5000 km. Coordinates are in thousands of kilometres, with origin at its…
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Show that P 1 has equation 2x − y + z = 0 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find a Cartesian equation for Π3 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ3 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
(i) Given A B → × A D → = m ( 1 , − 2 , 1 ) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=m(1,-2,1) A B × A D = m ( 1 , − 2 , 1 ) with m > 0, find m. (ii) Hence calculate the parallelogram’s area.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2025, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Use vectors to find the area of triangle PQR.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Hence find the volume of pyramid PQRS.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2024, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Use the magnitude definitions of dot and cross products to prove ( u ⋅ v ) 2 + ∣ u × v ∣ 2 = ∣ u ∣ 2 ∣ v ∣ 2 (\mathbf u\cdot\mathbf v)^2+|\mathbf u\times\mathbf v|^2=|\mathbf u|^2|\mathbf v|^2 ( u ⋅ v ) 2 + ∣ u × v ∣ 2 = ∣ u ∣ 2 ∣ v ∣ 2 .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2024, TZ1 wzorowane 13 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find (i) |u×v|; (ii) |u|; (iii) all possible pairs (p,q).
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2024, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Take p=1. A new point D defines w = C D → \mathbf w=\overrightarrow{CD} w = C D with u ⋅ w = v ⋅ w = 0 \mathbf u\cdot\mathbf w=\mathbf v\cdot\mathbf w=0 u ⋅ w = v ⋅ w = 0 . The area of triangle ACD is 70 \sqrt{70} 70 . Find both possible vectors w.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2024 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the minimum distance from O to L.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence or otherwise, find the shortest distance from A to L_1.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find a normal vector to Π.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2023, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Show that A B → × A C → = ( 3 − 4 p , − p − 6 , p 2 − 3 p ) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(3-4p,-p-6,p^2-3p) A B × A C = ( 3 − 4 p , − p − 6 , p 2 − 3 p ) .
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2023, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the least value of ∣ A B → × A C → ∣ 2 |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|^2 ∣ A B × A C ∣ 2 . You may use the vector (3 − 4p , −p − 6, p 2 − 3p ) .
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2023, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the smallest triangle area. You may use the minimum squared cross-product magnitude 43.5351115926.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2023, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Show that A B → × A C → = ( 3 − 4 p , − p − 6 , p 2 − 3 p ) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(3-4p,-p-6,p^2-3p) A B × A C = ( 3 − 4 p , − p − 6 , p 2 − 3 p ) .
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2023, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the least value of ∣ A B → × A C → ∣ 2 |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|^2 ∣ A B × A C ∣ 2 . You may use the vector (3 − 4p , −p − 6, p 2 − 3p ) .
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2023, TZ2 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the smallest triangle area. You may use the minimum squared cross-product magnitude 43.5351115926.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Verify that P lies on both Π₁ and Π₂. (ii) Find a vector equation of their line of intersection L.
Matematyka AA IB Paper 2, listopad 2022 wzorowane 9 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
For k≠8, let Π be the plane through A,B,C. (i) Find its Cartesian equation. (ii) Find the point of Π nearest the origin.