Zadanie 11b, Paper 2, maj 2024, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2024, TZ1, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 11(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Curve C is defined by ex+y = x2 + y2 − 1 and is symmetric about y=x. It has exactly two horizontal tangents, at P and Q with P having the smaller x-coordinate.
Polecenie
(i) Show that the horizontal-tangent x-coordinates satisfy 2x2 + [ln(2x)]2 − 2xln(2x) − 2x − 1 = 0, with x>0. (ii) Find P and Q.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Horizontal tangency requires 2x=e^(x+y)>0, hence y=ln(2x)−x. Substitute into C:2x=x²+[ln(2x)−x]²−1, which expands to the stated equation. (ii) Numerically solve this scalar equation on x>0: x=.1896611528… and 2.213706097…. Substitutingy=ln(2x)−x gives y=−1.159030178… and −.7258908386…. Thus P=(.190,−1.16),Q=(2.21,−.726). The derivative denominators are 2.697382661… and 5.879193872…, so both tangents are well-defined and horizontal.
Schemat punktowania
(i) M1:set the derivative numerator to zero. A1:x+y=ln(2x). M1:use the original curve equation. A1:correct substitution/expansion establishing the target. (ii) A1 for each correct x-coordinate. M1:use a curve/log relation to find y. A1 for each correct y-coordinate. For part (ii), the source-specific bare 2SF answer exception gives A1A1(M1)A0A0 for (.19,−1.2) and (2.2,−.73), rather than full 5 marks.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Unless stated otherwise give exact answers or three significant figures, retaining unrounded intermediate values.