Zadanie 9c, Paper 1, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 9(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
In parallelogram OABC, , , and with |a|>0. The angle between a and c is θ, with 0<θ<π. Point M lies on the closed segment AB and , where 0≤k≤1. It satisfies . For part (b), put u=1−2k.
Polecenie
Find all θ for which there are two distinct possible positions of M on AB.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
The equation is 9u²−12ucosθ−5=0, with roots . Their product is −5/9, so they are distinct, one negative and one positive. Both must lie in[−1,1]. For the upward quadratic, its values at ±1 must be nonnegative:4−12cosθ≥0 and 4+12cosθ≥0. Thus −1/3≤cosθ≤1/3, giving . Endpoints are allowed: one solution is an endpoint of AB. Atθ=π/2 the roots remain distinct, so no interior angle is excluded.
Schemat punktowania
M1:solve or analyze the quadratic in u/k. A1:derive the simultaneous boundary condition −1/3≤cosθ≤1/3. A1:correct angle interval. A1:correct endpoint inclusion and recognition that the two roots are distinct throughout it.
Komentarz. Paper 1: no calculator. AA HL formula booklet allowed. Give exact answers with supporting steps.