Zadanie 11c, Paper 1, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 11(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let . The real-coefficient cubic is p(z) = z3 + 3z2 − 6z + 20; u is a root. Complex conjugation is denoted by an asterisk.
Polecenie
(i) Find the other roots of p(z)=0. (ii) By a suitable transformation or otherwise, solve 1+3w−6w²+20w³=0.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) The conjugate root is 1−i√3. The sum of the roots is −3, so their real sum 2 plus the third root gives 2+c=−3, hence c=−5. Equivalently p(z)=(z²−2z+4)(z+5). (ii) Substitute z=1/w and multiply p(1/w) by w³. All original roots are nonzero, so the new roots are their reciprocals:−1/5 and (1±i√3)/4. Direct factorization is (5w+1)(4w²−2w+1).
Schemat punktowania
(i) A1:conjugate root. M1:use sum/product of roots or quadratic-factor comparison. A1:correct sum/product/factor equation. A1:simplify that equation correctly. A1:third root −5. (ii) A2:correct reciprocal transformation; alternatively M1:attempt factorization, A1:correct factors. A1:real root −1/5. A1:both complex reciprocal roots. For (i), the method mark for sum/product of roots is available with either sign of the target coefficient; accuracy marks still require the correct sign. For (ii), unsimplified reciprocals 1/(1±i sqrt3) are accepted.
Komentarz. Paper 1: no calculator. AA HL formula booklet allowed. Give exact answers with supporting steps.