Use conjugate-root properties and De Moivre methods to determine powers, roots and solutions over the complex numbers.
Tę umiejętność sprawdza 37 zadań wzorowanych na arkuszach IB z lat 2023–2026.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2026, TZ3 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Under the double-root assumption, state the b-values for which f(x)=0 has (i) at least one real root; (ii) at least one purely imaginary root.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Using sums and products of roots: (i) show that a=3; (ii) find b.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Express P as (A z + B )(z 2 + C z + D )(z 2 + E z + F ) with integer coefficients.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find c.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
State the other two roots in Cartesian form.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find all solutions of (−i z )3 = c in Cartesian form.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ3 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Let z=4+ki, where k<0 is real and − π < arg z ≤ π -\pi<\arg z\leq\pi − π < arg z ≤ π . Given that z⁶ is real, find all k in the form a tan ( b π ) a\tan(b\pi) a tan ( bπ ) with b<0.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ2 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Solve P(z)=0 in modulus–argument form.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ3 wzorowane 5 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find all three cube roots of z 2 /z 1 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Solve z 2 = 4 + 4 3 i z^2=4+4\sqrt3\,i z 2 = 4 + 4 3 i , expressing both answers as r ( cos θ + i sin θ ) r(\cos\theta+i\sin\theta) r ( cos θ + i sin θ ) .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
In Cartesian form, (i) find z 1 , z 2 ; (ii) deduce z 3 , z 4 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2025, TZ3 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
The monic quartic is z 4 + a z 3 + b z 2 + c z + d = 0, with real coefficients. Two distinct roots z 1 , z 2 satisfy the circle condition and Re ( z + 4 z − 2 ) = − Im ( z + 4 z − 2 ) \operatorname{Re}\left(\frac{z+4}{z-2}\right)=-\operatorname{Im}\left(\frac{z+4}{z-2}\right) Re ( z − 2 z + 4 ) = − Im ( z − 2 z + 4 ) . Find the coefficient a of this…
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Use De Moivre’s theorem to find both square roots of w in the form r e i θ , with r>0 and −π<θ≤π.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ1 wzorowane 8 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
(i) Show that a 2 = 1 + 2 a^2=1+\sqrt2 a 2 = 1 + 2 . (ii) Find b².
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Hence express tan ( π / 8 ) \tan(\pi/8) tan ( π /8 ) as p+q√2, where p,q are integers.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ3 wzorowane 6 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
(i) Express w as r e i α , with r>0 and principal argument α. (ii) Use De Moivre’s theorem to show that ( 3 + i ) 10 + ( 3 − i ) 10 = 1024 (\sqrt3+i)^{10}+(\sqrt3-i)^{10}=1024 ( 3 + i ) 10 + ( 3 − i ) 10 = 1024 .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ3 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Show that ( 1 + i tan θ ) 6 + ( 1 − i tan θ ) 6 = 2 cos ( 6 θ ) / cos 6 θ (1+i\tan\theta)^6+(1-i\tan\theta)^6=2\cos(6\theta)/\cos^6\theta ( 1 + i tan θ ) 6 + ( 1 − i tan θ ) 6 = 2 cos ( 6 θ ) / cos 6 θ whenever cos θ ≠ 0 \cos\theta\ne0 cos θ = 0 .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ3 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find all six roots of (1 + z )6 + (1 − z )6 = 0 in the form z = i tan θ z=i\tan\theta z = i tan θ , with 0 ≤ θ < π .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ3 wzorowane 7 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Expand (1 + z )6 + (1 − z )6 and use its roots to prove tan ( π / 12 ) = 2 − 3 \tan(\pi/12)=2-\sqrt3 tan ( π /12 ) = 2 − 3 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Show that p=2.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
It is further given that h (−1/3) = 0 and α , β are positive integers with α < β . (i) Show that α β = 3. (ii) Find α and β .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2024, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence or otherwise, solve arg ( z 2 ) = ∣ z 3 ∣ \arg(z^2)=|z^3| arg ( z 2 ) = ∣ z 3 ∣ for θ.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Show that u³=27.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ1 wzorowane 2 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
State v and w in Cartesian form.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Express u′,v′,w′ as r e i θ with −π < θ ≤ π .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
The rotated values solve z³=c+di with c,d real. Find c,d.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ1 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
All six numbers u,v,w,u′,v′,w′ satisfy zⁿ=α for one common complex α and a positive integer n. Find the smallest n.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2024 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find z₁,z₂,z₃ in polar or exponential form.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2024 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
The equation v 3 = a + b i , with real a,b, has roots z 1 ∗ , z 2 ∗ , z 3 ∗ . Find a and b.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2024 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
The midpoint points A′,B′,C′ represent three roots of w p q , where p,q are positive integers. Find the least possible p and its corresponding q.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2023, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find the smallest positive integer n such that z^n=−i.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ2 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Find the smallest positive integer n for which u^n is real. (ii) Find that real value.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ2 wzorowane 9 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Find the other roots of p(z)=0. (ii) By a suitable transformation or otherwise, solve 1+3w−6w²+20w³=0.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2023, TZ1 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use De Moivre to show that cos 5 θ = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ \cos5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta cos 5 θ = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ . You may use the real part c 5 − 10c 3 s 2 + 5c s 4 of (c + i s )5 .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2023, TZ1 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Using cos 5 θ = cos θ ( 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 ) \cos5\theta=\cos\theta(16\cos^4\theta-20\cos^2\theta+5) cos 5 θ = cos θ ( 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 ) , show that θ=π/10 and θ=3π/10 solve 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 = 0 16\cos^4\theta-20\cos^2\theta+5=0 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 = 0 . (ii) Hence show that cos ( π / 10 ) / cos ( 3 π / 10 ) = ( 1 + 5 ) / 2 \cos(\pi/10)/\cos(3\pi/10)=(1+\sqrt5)/2 cos ( π /10 ) / cos ( 3 π /10 ) = ( 1 + 5 ) /2 .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2023, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use De Moivre to show that cos 5 θ = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ \cos5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta cos 5 θ = 16 cos 5 θ − 20 cos 3 θ + 5 cos θ . You may use the real part c 5 − 10c 3 s 2 + 5c s 4 of (c + i s )5 .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2023, TZ2 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Using cos 5 θ = cos θ ( 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 ) \cos5\theta=\cos\theta(16\cos^4\theta-20\cos^2\theta+5) cos 5 θ = cos θ ( 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 ) , show that θ=π/10 and θ=3π/10 solve 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 = 0 16\cos^4\theta-20\cos^2\theta+5=0 16 cos 4 θ − 20 cos 2 θ + 5 = 0 . (ii) Hence show that cos ( π / 10 ) / cos ( 3 π / 10 ) = ( 1 + 5 ) / 2 \cos(\pi/10)/\cos(3\pi/10)=(1+\sqrt5)/2 cos ( π /10 ) / cos ( 3 π /10 ) = ( 1 + 5 ) /2 .