Zadanie 11d, Paper 1, listopad 2025, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 11(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Let w = 8i/(2 + 2i). When expressing w as (a + bi)2, take a,b>0. Use principal arguments in (−π,π].
Polecenie
(i) Show that . (ii) Find b².
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Expanding (a+bi)² gives a²−b²=2 and 2ab=2. Hence b=1/a and a²−1/a²=2, so a⁴−2a²−1=0. Solving the quadratic in a² yields a²=1±√2. The negative value is impossible, giving a²=1+√2. Alternatively the positive root has modulus 2³⁄⁴ and argument π/8, so a²=2√2cos²(π/8)=√2(1+cosπ/4)=1+√2. (ii) b²=a²−2=√2−1.
Schemat punktowania
(i) M1: expand and equate Cartesian components. A1: one correct component equation. M1: eliminate b. A1: a⁴−2a²−1=0. M1: solve the quadratic in a². R1: reject the negative a² and establish the required positive value. For the trigonometric alternative: A1 positive-root identification, A1 polar form, M1 extract real component, A1 square it, M1 use half/double angle, A1 evaluate correctly. (ii) M1: substitute a² into b²=a²−2 or b²=1/a². A1: b²=√2−1, including an equivalent unrationalized form.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact values unless a stated approximation is requested. Show sufficient working for method and proof marks.