Zadanie 12d, Paper 1, listopad 2024, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2024, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Consider z3 = 64i. Its three roots are denoted z₁,z₂,z₃ in increasing argument order within [0,2π), and represented by A,B,C on an Argand diagram. Let A′,B′,C′ be the midpoints of AB,BC,CA respectively.
Polecenie
The equation v3 = a + bi, with real a,b, has roots z1∗, z2∗, z3∗. Find a and b.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Conjugation commutes with integer powers: (zj∗)3 = (zj3)∗ = (64i)∗ = −64i. Thus a=0 and b=−64. Cubing any conjugate root in polar form is equivalent.
Schemat punktowania
A1: relate the conjugated cube to the conjugate of the cube, or correctly write a conjugate root. A1: conjugate 64i, or correctly apply De Moivre. A1: a=0,b=−64. Alternatively use the product of roots: A1 for z₁z₂z₃=64i; A1 for conjugated product z₁*z₂*z₃*=−64i; A1 for a=0,b=−64, using the product sign for a monic cubic.
Komentarz. Paper 1: no calculator. The AA HL formula booklet is allowed. Give exact answers and show the reasoning.