Zadanie 12e, Paper 1, listopad 2024, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2024, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(e). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Consider z3 = 64i. Its three roots are denoted z₁,z₂,z₃ in increasing argument order within [0,2π), and represented by A,B,C on an Argand diagram. Let A′,B′,C′ be the midpoints of AB,BC,CA respectively.
Polecenie
The midpoint points A′,B′,C′ represent three roots of wp = 2q, where p,q are positive integers. Find the least possible p and its corresponding q.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
From A=(2√3,2), B=(−2√3,2), C=(0,−4), the midpoints are A′=(0,2), B′=(−√3,−1), C′=(√3,−1). Each has modulus 2, with arguments π/2,7π/6,11π/6. For all pth powers to be positive real, p/4,7p/12 and 11p/12 must be integers. The least p is 12 (already forced by 7p/12); it also works for all three. Their common powered modulus is 2^12, so q=12.
Schemat punktowania
A1: correct midpoint arguments sufficient to establish the common power, including one of 7π/6 or 11π/6. A1: common midpoint modulus 2. M1: require all powered arguments to be integer multiples of 2π. A1: least p=12. A1: q=12.
Komentarz. Paper 1: no calculator. The AA HL formula booklet is allowed. Give exact answers and show the reasoning.