Matematyka AA IB HL — listopad 2024, Paper 1 (zadania wzorowane)

Triangle ABC has AB=6 cm, BC=10 cm and AC=8 cm. Its angle at B is 2θ. Find the exact value of cos θ in the form $p\sqrt5/q$ , with positive integers p,q.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5

An arithmetic sequence satisfies u₈ = 21 and S₁₉ = 285. Find the positive integer k for which u_k = 0.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6a

Solve Q(x)<0.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6b

Find the greatest k for which f is real-valued throughout x≤k and has an inverse on that domain. Justify your answer.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7a

Find the range of f.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7b

The region under y=f(x), above the x-axis and within the stated interval is rotated through a full turn about the x-axis. Find the volume.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane1 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8a

Show that $\overrightarrow{OP}=(1-\lambda)a+\lambda b$ .

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

Find λ when OP is perpendicular to AB.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9a

Prove that $\cot(\theta+\pi/4)=(1-\sin2\theta)/\cos2\theta$ on the stated domain.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Hence or otherwise, solve $(1-\sin x)/\cos x=\sqrt3$ for 0≤x≤2π. The identity $\cot(\theta+\pi/4)=(1-\sin2\theta)/\cos2\theta$ is available on its domain.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10a

Show that S = 3πr² + 2πrh.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10b

Show that $V=45\pi r-\frac56\pi r^3$ .

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10c

Find dV/dr under the surface-area constraint.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10d

The maximizing radius can be written $r=p\sqrt2$ , where p is a positive integer. Find p.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10e

Find the maximum volume in the form $q\pi\sqrt2$ , where q is a positive integer.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

Show that y tends to 1 as x tends to positive infinity.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

(i) Show that y^′ = 1/(1 + x²)^3/2. (ii) Hence show that y^′ = (1 − y²)^3/2.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Use y^′ = (1 − y²)^3/2. (i) By implicit differentiation, show that y^′′ = −3y(1 − y²)². (ii) Hence express y^′′′ in terms of y.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11d

Use the derivative relations y^′ = (1 − y²)^3/2, y^′′ = −3y(1 − y²)² and y^′′′ = −3(1 − 5y²)(1 − y²)^5/2 to find the Maclaurin series through the cubic term.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Find z₁,z₂,z₃ in polar or exponential form.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

The ordered roots form a geometric sequence. Find its common ratio in Cartesian form.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Plot A,B,C on an Argand diagram, labelling the axes and points.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12d

The equation v³ = a + bi, with real a,b, has roots z₁^∗, z₂^∗, z₃^∗. Find a and b.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

The midpoint points A′,B′,C′ represent three roots of w^p = 2^q, where p,q are positive integers. Find the least possible p and its corresponding q.