Elementary derivatives and differentiation rules

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

For the general family, (i) find f′(x); (ii) prove that f′ is odd.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

(i) Using f′(α)=0 or otherwise, show that α⁴ = −b/2. (ii) Hence show that d = b²/4.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2g

Finally take $r=6+6\cos\theta$, 0 ≤ θ ≤ 2π. Derive $\frac{dy}{dx}=\frac{\cos\theta+2\cos^2\theta-1}{-\sin\theta(1+2\cos\theta)}$ wherever the denominator is nonzero.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

Find ds/dt and d²s/dt² and thereby verify the restoring-acceleration equation.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ3wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 5a

Find dy/dx.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8b

(i) Show that c=4b and a=12b. (ii) Hence deduce f(x) = 12x/(x² + 4).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11c

The identity in (a) is $\cot(2\theta)=\tfrac12[\cot\theta-1/\cot\theta]$, wherever all terms are defined. Differentiate both sides of (a) to establish $4\csc^2(2\theta)=\csc^2\theta+\sec^2\theta$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Find c.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

You may use E(Z) = G_Z′(1). Use this derivative identity to find E(Z).

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

For general A > 0, prove that $F_A^{\prime}(\sqrt A)$ has the same value for every A.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ1wzorowane11 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

Consider the lower arc of the circle (x − 2)² + (y + 1)² = R², where R > 0, 2 − R < x < 2 + R and y < −1. (i) Show that $\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{R^2}{(y+1)^3}$. (ii) Hence show that the curvature is constant along this arc.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Show that the only solutions of dV/dx = 0 are $x=\dfrac{a+b\pm\sqrt{a^2-ab+b^2}}9$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5a

Find the gradient of L_k in terms of k.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5a

Find f′(x).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ2wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6b

Hence determine the x-coordinate of the point on the curve nearest to A.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ1wzorowane16 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

For the Gompertz model: (i) state dx/dt at x=1000; (ii) interpret it; (iii) for h(x) = ln(ln 1000 − ln x),0<x<1000, show h′(x) = −1/[xln(1000/x)]; (iv) hence separate variables to show ln x = ln 1000 − Ae^−at with A>0; (v) find A as ln p for a positive…

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2024, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

Take f(x) = (5 − x)⁻³ and g(x) = (x + 1)³ on x<5. (i) Find f^′(x). (ii) Show that 2f^′(x)g^′(x) = 18(x + 1)²/(5 − x)⁴. (iii) Show that f(x)g^′(x) + g(x)f^′(x) has the same value.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2024, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

Use $f=A\exp\left(\int g^{\prime}/(2g^{\prime}-g)\,dx\right)$ with g(x) = xe^x/2 to find the positive companion f satisfying f(0)=1.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 10c

Find the rate of change of H at t=10.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Prove by induction that for every positive integer n, $f_a^{(n)}(x)=\dfrac{a^n(2n+1)!}{2^{2n}n!}(1-ax)^{-(2n+3)/2}$.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2024wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10f

Find (i) B′(50); (ii) C′(50).

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

(i) Show that y^′ = 1/(1 + x²)^3/2. (ii) Hence show that y^′ = (1 − y²)^3/2.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2024wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Show that dy/dx = (3x² + 6kx + 8k − 2)/(x + k)².

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2024wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

For k=1, prove that dy/dx>3 everywhere on the curve’s domain.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

Use calculus to find the minimum of x² + e² − ln x for x>0. Justify that it is a minimum.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2023, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

The unique contact base lies between 1.05 and 1.1. Find the exact coordinates of the contact point P and the exact base a. You may use the fact that the resulting contact equation has exactly one solution with x>1; an exact candidate must still be verified in…

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8b

Hence show that the tangents to f and g at P are perpendicular.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10c

Show that $A\prime(x)=(9-7x-2x^2)/\sqrt{9-x^2}$.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

(i) Find d²L/dα². (ii) At α=π/6, show that this equals $10\sqrt3/3$.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

(i) State y′(0). (ii) Show that y″(0)=18.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

Find all points where the gradient is zero.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

Use second derivatives to classify the stationary points x=0,π/4,π/2. You may use $F\prime(x)=-4\sin4x(e^{\cos4x}+1)$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

Find all points where the gradient is zero.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

Use second derivatives to classify the stationary points x=0,π/4,π/2. You may use $F\prime(x)=-4\sin4x(e^{\cos4x}+1)$.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

Show that y=24x−12 is tangent to y=f(x) at A=(2,36).

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2022, TZ1wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

Assume a≠r. (i) Show that g′(x) = 2(x − r)[(x − a)² + b²] + 2(x − r)²(x − a). (ii) Hence, or otherwise, prove that the tangent at A meets the x-axis at T = ((a + r)/2, 0).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4

The curve y = (3x + 2)e^kx has a tangent at x=1 parallel to the straight line y = (7e^k)x. Find the rational constant k.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 6b

The range is a≤y≤b. Find a,b.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10d

Find the total time in[0,8] when B’s content increases faster than A’s.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

(i) Show that g′′ = 4g′ − 5g. (ii) Hence deduce g⁽⁴⁾ = 4g⁽³⁾ − 5g′′.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Show that d²P/dt² = k²(P − H)(1 − P/N)[1 + (H − 2P)/N].

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1

Let g(x) = e^2x²−1 for real x. Find g′(−2).

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

Let F(x) = x(1 − x²ⁿ)/(1 − x²) for x≠±1 and F₁ = xF′. Show that F₁(x) = [x + x³ − (2n + 1)x²ⁿ⁺¹ + (2n − 1)x²ⁿ⁺³]/(1 − x²)².

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Now consider $y=\sqrt{r^2-x^2}$, with r>0. Find dy/dx for −r<x<r.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane13 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

Let $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ for −r≤x≤r, with r>0, and let k>0. (i) Describe the transformation from y=f(x) to y=kf(x). (ii) State both x-intercepts of y=kf(x). (iii) Find its derivative for −r<x<r. (iv) The full transformed arc is rotated about the x-axis.…

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10b

(i) Find f′(x). (ii) Hence find all points on the graph where f′(x) = 0, including the endpoints when appropriate.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

Find f′(x).

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11d

Find (i)(f∘g)(0); (ii)(f∘g)′(0).