Zadanie 1f, Paper 3, maj 2026, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A symmetric polynomial family is defined by f(x) = x8 + bx4 + d, where b,d are real and d≠0. A double root α satisfies f(α)=0 and f′(α)=0; complex roots are allowed in the algebraic parts. In 1e–1g assume α is a double root. In 1h–1i drop this double-root assumption and take b<0 instead. A root on the imaginary axis is called purely imaginary when its real part is zero.
Polecenie
(i) Using f′(α)=0 or otherwise, show that α4 = −b/2. (ii) Hence show that d = b2/4.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
f′(α)=4α³(2α⁴+b)=0. Since d≠0 impliesα≠0, 2α⁴+b=0 andα⁴=−b/2. Substitute in f(α)=0: b²/4−b²/2+d=0, giving d=b²/4. Equivalently complete the square f(x)=(x⁴+b/2)²+d−b²/4; at a nonzero multiple root the constant offset must vanish. Thus the double-root family is (x⁴+b/2)², with four distinct double roots, since b≠0.
Schemat punktowania
(i) M1: factor f′(α), or use an equivalent repeated-root argument in x⁴. A1: 4α³(2α⁴+b)=0 or equivalent. A1: excludeα=0 and derive the target. (ii) A1: correct substitution in f(α)=0. A1: simplify to d=b²/4. A completed-square or discriminant derivation which already establishes this condition earns the corresponding two accuracy marks.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Supply complete proofs and sufficient reasoning; numerical evidence alone does not establish a general identity.