Zadanie 1h, Paper 3, maj 2026, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(h). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A symmetric polynomial family is defined by f(x) = x8 + bx4 + d, where b,d are real and d≠0. A double root α satisfies f(α)=0 and f′(α)=0; complex roots are allowed in the algebraic parts. In 1e–1g assume α is a double root. In 1h–1i drop this double-root assumption and take b<0 instead. A root on the imaginary axis is called purely imaginary when its real part is zero.
Polecenie
For b<0, show that the real zeros of f″ are 0 and .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
f″(x)=56x⁶+12bx²=4x²(14x⁴+3b). Hence f″=0 gives x=0 or x⁴=−3b/14>0. The real solutions are 0 and ±(−3b/14)^(1/4). The zero at 0 does not change the sign of f″; it is not an inflection point.
Schemat punktowania
A1: correct second derivative. M1: set it equal to zero and factor or otherwise solve. A1: all three real zeros, with both fourth-root signs.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Supply complete proofs and sufficient reasoning; numerical evidence alone does not establish a general identity.