Zadanie 1c, Paper 3, maj 2026, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ3, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
A symmetric polynomial family is defined by f(x) = x8 + bx4 + d, where b,d are real and d≠0. A double root α satisfies f(α)=0 and f′(α)=0; complex roots are allowed in the algebraic parts. In 1e–1g assume α is a double root. In 1h–1i drop this double-root assumption and take b<0 instead. A root on the imaginary axis is called purely imaginary when its real part is zero.
Polecenie
For the general family, (i) find f′(x); (ii) prove that f′ is odd.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
f′(x)=8x⁷+4bx³. Then f′(−x)=8(−x)⁷+4b(−x)³=−8x⁷−4bx³=−f′(x), proving oddness for all real x.
Schemat punktowania
(i) A1 each for 8x⁷ and 4bx³; extra terms cap at one of these two marks. (ii) M1: use the defining oddness equality. A1: correctly substitute −x. A1: simplify to −f′(x). A single numerical example earns at most the method mark.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Supply complete proofs and sufficient reasoning; numerical evidence alone does not establish a general identity.