Zadanie 1b, Paper 3, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For x>0 and a>0 with a≠1, let fa(x) = loga x = ln x/ln a. This investigation compares its graph with the parabola y = x2 + e2, restricted to x>0. A point of contact is a common point with equal gradients. There is a unique base at which contact occurs.
Polecenie
Use calculus to find the minimum of x2 + e2 − ln x for x>0. Justify that it is a minimum.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Let D=x²+e²−lnx. Then D′=2x−1/x. The only stationary point in x>0 is x=1/√2. Since D″=2+1/x²>0, this gives the global minimum, e2 + (1 + ln 2)/2. Alternatively D′ is negative below 1/√2 and positive above it.
Schemat punktowania
A1:correct derivative 2x−1/x. M1:solve D′=0. A1:minimum e²+(1+ln2)/2. A1:correct second derivative, or R1 for negative D′ before the stationary point. R1:justify the minimum by positivity of D″, or positive D′ afterwards. If no symbolic derivative is shown, award at most 3/5.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Exact results require analytical working; graphs and numerical checks support but do not replace proofs.