Zadanie 2f, Paper 3, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Two arithmetic constraints on polynomials are considered. First, for L(x) = mx + c with m,c nonzero, let r be its root. Call L admissible when r,m,c in that order form an arithmetic progression. Second, let F(x) = ax3 + bx2 + cx with real a≠0 and real b,c. Its stationary abscissas r1, r2 are the real roots of F′(x) = 3ax2 + 2bx + c. Call F admissible when a, r1, b, r2, c in that order form an arithmetic progression. The labels r₁,r₂ refer to this order and need not be increasing.
Polecenie
Determine the two admissible cubic functions with b=0.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
With b=0, the progression gives r₁=a/2,r₂=−a/2,c=−a. Vieta for F′ gives −a²/4=c/(3a)=−1/3, so a²=4/3 and a=±2/√3. Thus or . Their stationary abscissas are ±1/√3 and can be ordered as required.
Schemat punktowania
A1:r₁=a/2 OR r₂=−a/2 OR the equivalent common difference. A1:c=−a. M1:use the derivative-root equation or Vieta to determine a. A1:both a=±2/√3. A1:both cubic functions. A single branch does not earn the final two accuracy marks. Parametrization by common difference d or by r₁ is equally valid: A1 for the initial sequence relation, A1 for c, M1 to impose a derivative-root/product condition, A1 for both possible parameter values, A1 for both functions.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Exact results require analytical working; graphs and numerical checks support but do not replace proofs.