Zadanie 1f, Paper 3, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For x>0 and a>0 with a≠1, let fa(x) = loga x = ln x/ln a. This investigation compares its graph with the parabola y = x2 + e2, restricted to x>0. A point of contact is a common point with equal gradients. There is a unique base at which contact occurs.
Polecenie
Give the exact sets of bases for which the graphs have (i) two intersections; (ii) no intersections. You may use the unique contact base a∗ = exp(1/(2e2)).
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i)1 < a < exp(1/(2e2)). (ii)a > exp(1/(2e2)). For a>1, intersections satisfy ln a = (ln x)/(x2 + e2) with x>1. This ratio is 0 at 1 and tends to 0 at infinity; its derivative changes sign only at x=e, where it has maximum 1/(2e²). The critical base gives one contact; bases below 1 give one crossing.
Schemat punktowania
(i) A1:correct exact interval, with both endpoints strict. (ii) A1:correct exact upper interval. If a consistent numerical threshold within (1.05,1.1) is used instead of the exact value, only the second accuracy mark can be awarded (A0A1).
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Exact results require analytical working; graphs and numerical checks support but do not replace proofs.