Differentiate tangent, secant, cosecant and cotangent, inverse trigonometric functions, and exponential and logarithmic functions with general valid bases; integrate the corresponding derivatives, including linear arguments.
Tę umiejętność sprawdza 20 zadań wzorowanych na arkuszach IB z lat 2022–2026.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2026, TZ3 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Show that P ( − A / 2 < S < A / 2 ) = 5 / 12 P(-A/2<S<A/\sqrt2)=5/12 P ( − A /2 < S < A / 2 ) = 5/12 .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
The identity in (a) is cot ( 2 θ ) = 1 2 [ cot θ − 1 / cot θ ] \cot(2\theta)=\tfrac12[\cot\theta-1/\cot\theta] cot ( 2 θ ) = 2 1 [ cot θ − 1/ cot θ ] , wherever all terms are defined. Differentiate both sides of (a) to establish 4 csc 2 ( 2 θ ) = csc 2 θ + sec 2 θ 4\csc^2(2\theta)=\csc^2\theta+\sec^2\theta 4 csc 2 ( 2 θ ) = csc 2 θ + sec 2 θ .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2026, TZ2 wzorowane 2 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find the tangent equation at x=2.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2026, TZ3 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Prove that d y /d x = −2e −2x (1 + y 2 ).
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2025, TZ3 wzorowane 7 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
At an instant when θ = 0.2 radians, the angle is increasing at 6 radians per hour. Find the aircraft’s speed.
Matematyka AA IB Paper 3, listopad 2025, TZ3 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
By solving F 2 ′(x ) = 0, prove that F₂ has exactly two stationary points on the stated domain, at x = π /2 and x = 3π /2.
Matematyka AA IB Paper 3, listopad 2025, TZ3 wzorowane 1 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
The derivative can be written F n ′ ( x ) = cos x ∏ k = 1 n − 1 [ 1 + F k ( x ) 2 ] − 1 F_n\prime(x)=\cos x\prod_{k=1}^{n-1}[1+F_k(x)^2]^{-1} F n ′ ( x ) = cos x ∏ k = 1 n − 1 [ 1 + F k ( x ) 2 ] − 1 . Use this formula to express F₃′ entirely in terms of x.
Matematyka AA IB Paper 3, listopad 2025, TZ3 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use mathematical induction to prove F n ′ ( x ) = cos x ∏ k = 1 n − 1 [ 1 + F k ( x ) 2 ] − 1 F_n\prime(x)=\cos x\prod_{k=1}^{n-1}[1+F_k(x)^2]^{-1} F n ′ ( x ) = cos x ∏ k = 1 n − 1 [ 1 + F k ( x ) 2 ] − 1 for all positive integers n.
Matematyka AA IB Paper 3, listopad 2025, TZ3 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence use integration to establish arctan x = x − x 3 / 3 + x 5 / 5 − x 7 / 7 + ⋯ \arctan x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+\cdots arctan x = x − x 3 /3 + x 5 /5 − x 7 /7 + ⋯ for |x|<1.
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ3 wzorowane 3 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Find d T /d θ .
Matematyka AA IB Paper 1, listopad 2025, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Using the polynomial for H, approximate arcsin ( 1 / 2 ) / 2 \arcsin(1/\sqrt2)/\sqrt2 arcsin ( 1/ 2 ) / 2 in the form 13/24 + k /320 , where k is a positive integer. Find k.
Matematyka AA IB Paper 3, maj 2024, TZ2 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Use the same companion-function formula, f = A exp ( ∫ g ′ / ( 2 g ′ − g ) d x ) f=A\exp\left(\int g^{\prime}/(2g^{\prime}-g)\,dx\right) f = A exp ( ∫ g ′ / ( 2 g ′ − g ) d x ) , with g ( x ) = sin ( x / 2 ) + cos ( x / 2 ) g(x)=\sin(x/2)+\cos(x/2) g ( x ) = sin ( x /2 ) + cos ( x /2 ) on 0<x<2π. Find the positive f satisfying f (π ) = e π /4, in the form f (x ) = e x /4h (x ).
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2024, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe średnie (szac.)
Using l’Hôpital’s rule, evaluate lim x → 0 sec ( 3 x ) − cos ( 5 x ) x 4 + 2 x 2 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sec(3x)-\cos(5x)}{x^4+2x^2} x → 0 lim x 4 + 2 x 2 sec ( 3 x ) − cos ( 5 x ) . Angles are in radians.
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2024, TZ2 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Show that d d x ln ( cot x ) = − 2 csc ( 2 x ) \dfrac{d}{dx}\ln(\cot x)=-2\csc(2x) d x d ln ( cot x ) = − 2 csc ( 2 x ) .
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ2 wzorowane 3 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Hence show that the tangents to f and g at P are perpendicular.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ1 wzorowane 5 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Find dL/dα. (ii) Show that its only stationary angle is π/6.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2023, TZ1 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Find d 2 L /d α 2 . (ii) At α=π/6, show that this equals 10 3 / 3 10\sqrt3/3 10 3 /3 .
Matematyka AA IB Paper 2, maj 2023, TZ1 wzorowane 7 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
(i) Using (2x 2 − 3)/(x 2 + 1) = 2 − 5/(x 2 + 1) , solve the differential equation with the given initial condition, in explicit form. (ii) Hence evaluate y(0.20) to six significant figures.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ1 wzorowane 4 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Find k.
Matematyka AA IB Paper 1, maj 2022, TZ2 wzorowane 6 pkt obliczeniowe trudne (szac.)
Using u=csc x or otherwise, evaluate ∫ π / 6 π / 2 csc n x cot x d x \int_{\pi/6}^{\pi/2}\csc^n x\cot x\,dx ∫ π /6 π /2 csc n x cot x d x in terms of the nonzero real parameter n.