Compound-angle relationships

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 4

Find the exact value of $\csc105^\circ$ in the form $\sqrt m-\sqrt n$, with positive integers m,n.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11a

Prove $\cot(2\theta)=\tfrac12[\cot\theta-1/\cot\theta]$ wherever all terms are defined.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 11d

A right triangle UVW has its right angle at U, with $UV=2\csc\theta$ metres and $VW=4\csc(2\theta)$ metres, where 0 < θ < π/2. Let L be the numerical length in metres of its hypotenuse and A its numerical area in square metres. Find L : A as n : 1 with…

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8c

Hence or otherwise express h(t) as $p\sin(3t+q)$, with p > 0 and 0 < q < 2π.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ2wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

Solve $\arcsin x+\arcsin(2x)=-\pi/2$ on −1/2 ≤ x ≤ 1/2.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Within the cross-section, a triangular brace has vertices R, P, Q, with P on the first panel and Q on the second. It occupies the acute wedge between the panels. The angle RPQ is 45° and RP = 8 cm. (i) Using a compound-angle identity, show that…

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

For real p, suppose $\arg\left(\frac{z+p}{z-2}\right)=-\pi/4$, where the quotient is defined and nonzero. Show that x² + y² + (p − 2)x − (p + 2)y − 2p = 0.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8a

Prove $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8b

Hence describe a sequence of transformations taking $y=\cos\theta$ to $y=12\cos^3(\theta-\pi/9)-9\cos(\theta-\pi/9)$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8a

Show that (i) $\arg z=\pi/2-\theta$; (ii) $|z|=2\sin\theta$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Show that $\dfrac{d}{dx}\ln(\cot x)=-2\csc(2x)$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9a

Prove that $\cot(\theta+\pi/4)=(1-\sin2\theta)/\cos2\theta$ on the stated domain.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Hence or otherwise, solve $(1-\sin x)/\cos x=\sqrt3$ for 0≤x≤2π. The identity $\cot(\theta+\pi/4)=(1-\sin2\theta)/\cos2\theta$ is available on its domain.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

(i) Prove $\arctan a+\arctan b=\arctan((a+b)/(1-ab))$ for a,b>0 with ab<1. (ii) Hence or otherwise show that $\arg w_1=\arctan4$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane10 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Prove by mathematical induction that $\arg w_n=\arctan((n+1)^2)$ for every integer n≥0. You may use $\arctan a+\arctan b=\arctan((a+b)/(1-ab))$ when a,b>0 and ab<1.