Zadanie 12b, Paper 1, listopad 2022, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2022, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 12(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For integers n≥0, define zn = n2(n + 1)2 + 1 + i(2n + 1) and . Use principal arguments in (−π, π].
Polecenie
(i) Prove for a,b>0 with ab<1. (ii) Hence or otherwise show that .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) Set A=arctan a,B=arctan b. The tangent addition formula gives . Since A,B∈(0,π/2), their sum is in (0,π). The condition ab<1 makes its cosine positive, so A+B∈(0,π/2); applying arctan proves the identity. (ii)z0 = 1 + i, z1 = 5 + 3i give w1 = 2 + 8i, whose argument is arctan4. Equivalently, atan1+atan(3/5)=atan((1+3/5)/(1−3/5))=atan4.
Schemat punktowania
(i) M1:tangent addition formula. A1:correct ratio and valid principal-branch conclusion. (ii) M1:add the arguments or multiply the factors. A1:atan1+atan(3/5) or 2+8i. A1:ratio 4 with first-quadrant interpretation.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact values and show working.