Matematyka AA IB HL — listopad 2022, Paper 1 (zadania wzorowane)

Consider both real branches of the algebraic curve y² = x²(9 − 6ln x), with x>0 and y≠0. Its points of zero gradient lie on lines y=mx. Find both values of m.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10a

Solve f(x)=0.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10b

(i) Find f′(x). (ii) Hence find all points on the graph where f′(x) = 0, including the endpoints when appropriate.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10c

Sketch y = ∣f(x)∣, labelling intercepts and all points whose x-coordinate satisfies f′(x) = 0.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10d

Hence or otherwise solve ∣f(x)∣ > 1.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

Count the codes (i) if symbols may repeat; (ii) if all three symbols must differ.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane12 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Suppose x² − 3x + 2 is a factor of P. (i) Express b in terms of a. (ii) Hence show that a=5,b=8,c=4 is the only permitted assignment. (iii) Factor P completely into linear factors. (iv) Sketch y=P(x), labelling all intercepts.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

(i) Find $\arg z_0$ . (ii) Give $\arg z_n$ in terms of n.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

(i) Prove $\arctan a+\arctan b=\arctan((a+b)/(1-ab))$ for a,b>0 with ab<1. (ii) Hence or otherwise show that $\arg w_1=\arctan4$ .

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane10 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Prove by mathematical induction that $\arg w_n=\arctan((n+1)^2)$ for every integer n≥0. You may use $\arctan a+\arctan b=\arctan((a+b)/(1-ab))$ when a,b>0 and ab<1.