First-order differential equations

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2026, TZ3wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

(i) Use the chain rule to establish a = v dv/ds on a monotone motion branch. (ii) Solve the resulting differential equation to prove v² = n²(A² − s²). (iii) Hence or otherwise find the maximum speed.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

Solve $xy\frac{dy}{dx}=4+y^2$ on the branch containing x=3, y=√5. Give the result in the form y² = f(x).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane8 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

Hence show that $\ln\left(\dfrac{N-1}{5-N}\right)=4kt-\ln p$, determining the positive constant p.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ1wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12c

Find N in the form $N=\dfrac{a+be^{-4kt}}{1+ce^{-4kt}}$, where a,b,c are integers.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Use Euler’s method with step length 0.02 to estimate y(1.10).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Use 1/y² = −4z to show that dz/dx − 2z/x = 1.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Hence solve the differential equation explicitly. You may use z = −1/(4y²).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

Use the curve’s shape to explain whether the Euler estimate at x=1.10 is above or below the exact value.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

Consider $4x^2\frac{dy}{dx}=3x^2+8xy-4y^2$ with x ≠ 0, y ≠ 3x/2 and y ≠ −x/2. Under the substitution y = vx, this becomes $x\frac{dv}{dx}=(3/2-v)(v+1/2)$. Hence show that a solution relation is $x^2=\left|\frac{A(y+x/2)}{3x/2-y}\right|$ for some A > 0.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1g

The solution relation is $x^2=\left|\frac{A(y+x/2)}{3x/2-y}\right|$, with A > 0, x ≠ 0, y ≠ 3x/2 and y ≠ −x/2. Restrict the relation in (f) to $\frac{A(y+x/2)}{3x/2-y}>0$. Show algebraically that it produces y = F_A(x).

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

A differentiable function satisfies $\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{x+y}$, with x > 0 and y ≠ −x, and passes through (3, 0). Use y = vx to show that its solution satisfies 2x² − 2xy − y² = 18.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9a

Use Euler’s method with step size 0.25 to estimate y at x = 3.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ1wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9b

The diagram shows two arcs of the associated solution relation. (i) Is the estimate in (a) above or below the upper arc at x = 3? Justify your answer using its curvature. (ii) Explain why forward Euler steps starting at (2, 0) cannot estimate the point on the…

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

By solving it, show that $y=\dfrac12x^2-\dfrac12x-\dfrac74+Ce^{-2x}$, where C is a constant.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12c

Sketch the particular solution through (−3, 2) for −4 ≤ x ≤ 4, labelling the coordinates of its local maximum and minimum.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12d

Consider two distinct solution curves passing through (−3, p) and (−3, q), where p ≠ q. Use their tangents at x = −3 to prove that every tangent at this x-coordinate, for this family of solutions, passes through a common point. State that point.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ1wzorowane16 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

For the Gompertz model: (i) state dx/dt at x=1000; (ii) interpret it; (iii) for h(x) = ln(ln 1000 − ln x),0<x<1000, show h′(x) = −1/[xln(1000/x)]; (iv) hence separate variables to show ln x = ln 1000 − Ae^−at with A>0; (v) find A as ln p for a positive…

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

The adjusted model is dx/dt = .101xln(1000/x) − .01x. (i) Starting at x₀=250 when t=4, use Euler’s method with step 0.4 years to estimate the count at t=8, to the nearest whole member. (ii) Comment on this prediction.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ3wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Solve $x\,dy/dx+4y=\sec^2x/x^2$, for 0 < x < π/2, with y = 64/π³ at x = π/4. You may use $\int x\sec^2x\,dx=x\tan x+\ln|\cos x|+C$.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7a

Solve the differential equation and find a.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2025, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7b

Given y = 2 when x = π/2, find b.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12a

(i) Find y′ at x=1. (ii) Use two equal Euler steps to estimate y at x=1.2. (iii) Assuming concavity does not change on 1≤x≤1.2, state the concavity and justify it from your estimates.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12b

(i) Show that (x² + xy)y′′ = 2x + y − x(y′)² − (x + 17y)y′. (ii) Find y″ at x=1.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ3wzorowane8 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12d

Solve the given differential equation using y=vx and show that its initial-value solution satisfies x⁸(3y − x)² = x + 3y.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2024, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

For general f,g under the stated assumptions, rearrange the differential identity to show that f^′/f = g^′/(2g^′ − g).

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2024, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

Integrate f^′/f = g^′/(2g^′ − g) to show that $f(x)=A\exp\!\left(\int\frac{g^{\prime}(x)}{2g^{\prime}(x)-g(x)}\,dx\right)$, where A>0 is constant.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2024, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

Use $f=A\exp\left(\int g^{\prime}/(2g^{\prime}-g)\,dx\right)$ with g(x) = xe^x/2 to find the positive companion f satisfying f(0)=1.

Matematyka AA IBPaper 3, maj 2024, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

Use the same companion-function formula, $f=A\exp\left(\int g^{\prime}/(2g^{\prime}-g)\,dx\right)$, with $g(x)=\sin(x/2)+\cos(x/2)$ on 0<x<2π. Find the positive f satisfying f(π) = e^π/4, in the form f(x) = e^x/4h(x).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ1wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

Solve dy/dx = 2x − 3y, with y(0)=4, giving y explicitly as a function of x.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Use Euler’s method with step length π/12 to estimate y at x=π/3, giving three significant figures.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Show that cot x is an integrating factor.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12d

Hence solve the initial-value problem and show that y=x tan x.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

The exact solution is y=x tan x. (i) Find y at x=π/3 to three significant figures. (ii) Considering the gradient, explain why the forward Euler estimate from π/6 using steps of π/12 is inaccurate here. (iii) Explain why that estimate is less than the exact…

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12f

Using the differential equation and its solution y=x tan x, deduce that the curve has positive gradient throughout 0<x<π/2.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Use Euler’s method to estimate y(0.20), giving six significant figures.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ1wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12d

(i) Using (2x² − 3)/(x² + 1) = 2 − 5/(x² + 1), solve the differential equation with the given initial condition, in explicit form. (ii) Hence evaluate y(0.20) to six significant figures.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ1wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

Explain why Euler’s method with the specified step underestimates the exact solution at grid points in 0<x<1.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Use one Euler step of length 0.05 to estimate y(1.05).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Solve the differential equation to show that $y=x\sqrt{11x^2-2}$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Evaluate the exact solution at x=1.05. Use the explicit solution $y=x\sqrt{11x^2-2}$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12d

Explain using concavity why the exact value at 1.05 exceeds the one-step Euler estimate. Use $y=x\sqrt{11x^2-2}$ and one forward Euler step from x=1,y=3 of length 0.05.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2a

(i) Express the slope of y=kx² using only x,y. (ii) Hence show its orthogonal trajectories satisfy y′=−x/(2y). (iii) Solve this differential equation to show that these trajectories have equation x²+2y²=C, with constant C.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane11 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

Now take f=−2x/y and α=π/4, working locally where x>0, y≠0 and y+2x≠0. (i) Show that g=(y−2x)/(y+2x). (ii) Solve the homogeneous equation y′=(y−2x)/(y+2x) and give its general implicit form h(x,y)=d. You may use…

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9a

Use Euler’s method with step 0.2 to estimate y(1), giving four significant figures.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Solve the equation to show that y = 6 − 5e^−x/8.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ1wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Find the absolute error of the Euler estimate at x=1. Use y = 6 − 5e^−x/8 and the Euler value 1.594521533203125 (or its four-significant-figure rounding 1.595).

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9a

Use Euler’s method with step 0.2 to estimate y(1), giving four significant figures.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Solve the equation to show that y = 6 − 5e^−x/8.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2023, TZ2wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9c

Find the absolute error of the Euler estimate at x=1. Use y = 6 − 5e^−x/8 and the Euler value 1.594521533203125 (or its four-significant-figure rounding 1.595).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Use Euler’s method with step 0.08 to estimate y(1.4).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Use y=vx to show that x dv/dx = v² − 2v − 3.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane12 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

(i) Solve the differential equation and show that y = (15x + x⁵)/(5 − x⁴) on its initial-value branch. (ii) Find the actual value y(1.4). (iii) Use the graph of this solution to explain why five Euler steps of 0.08 from (1,4) give a poor estimate at 1.4.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

Solve the differential equation with P(0)=P₀ and show that $k(1-H/N)t=\ln\!\left[\frac{P-H}{P_0-H}\frac{N-P_0}{N-P}\right]$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12f

For a particular network H=P₀/2,N=4P₀ and P(8)=3P₀. Using $k(1-H/N)t=\ln[\frac{P-H}{P_0-H}\frac{N-P_0}{N-P}]$, find k.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9a

Use y=vx to solve the differential equation, giving an equation of the form y² = F(x).

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9b

Consider both real branches of the algebraic curve y² = x²(9 − 6ln x), with x>0 and y≠0. Its points of zero gradient lie on lines y=mx. Find both values of m.