Zadanie 12b, Paper 2, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 12(b). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For x>0,y>0, consider dy/dx = (2x2 + 2y2)/(xy) with y(1)=3. The positive explicit solution is considered on its maximal interval containing x=1.
Polecenie
Solve the differential equation to show that .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Put y=vx, so y′=v+xv′. Substitution gives v + xv′ = 2/v + 2v, hence xv′ = (v2 + 2)/v. Separate to get , so (1/2)ln(v2 + 2) = ln x + C. Thus v2 + 2 = Kx2. At x=1,v=3, K=11. Back-substitution gives y2/x2 = 11x2 − 2, and y>0 yields the target solution, on x>√(2/11).
Schemat punktowania
M1:use y=vx. A1:correct differentiated substitution. M1:substitute into the ODE. A1:correct equation for v′. M1:separate variables. A1:correct integrated relation. M1:apply the initial condition. A1:constant 11 and positive explicit branch, establishing the supplied formula. Alternative linearization: M1 set u=y²; A1 u′=2yy′; M1 substitute into the ODE; A1 u′−4u/x=4x; M1 use integrating factor x^(−4); A1 u x^(−4)=−2x^(−2)+C; M1 apply y(1)=3; A1 C=11 and the positive explicit solution. Equivalent valid solution methods receive the same eight marks.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Show the mathematical setup for calculator operations. Give exact answers where requested; otherwise use three significant figures and retain intermediate precision.