Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 2 (zadania wzorowane)

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1a

Find a, b for the least-squares regression E = at + b.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 1b

Use the regression to predict stored energy at t = 18.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 2

Two straight mechanical arms share a pivot O on a horizontal datum. Their lengths are OA = 120 cm and OB = 80 cm; their tip separation is AB = 100 cm. Measured anticlockwise from the rightward horizontal, their inclinations are 2θ and θ,…

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3a

Find P(W > 320).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3b

Find P(W < w).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3c

Find w.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 3d

For twelve trials, find the probability that exactly two durations are below w.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 4

For $h\in\mathbb{Q}^+$, write (x + h)⁷ = x⁷ + ax⁶ + bx⁵ + cx⁴ + dx³ + ⋯ + h⁷. The coefficients a, b, d, in that order, form a geometric sequence. Find h.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5a

Find t₁.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5b

Find t₂.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5c

Find the distance travelled between t₁ and t₂.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6a

Verify that $\mathbf r=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,1)$, $\lambda\in\mathbb R$, describes L.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6b

Find the point on L nearest to the origin. Use $\mathbf r=(1,2,-1)+\lambda(2,-1,1)$ for L.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7

The region between $y=\arctan x$ and $y=\arctan(x-2)$, cut off by y = 0 and y = π/4, is rotated fully about the y-axis. Find the resulting volume.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8a

Determine the range of g.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 8b

Find all x such that h(x) ≤ 0.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

Three distinct labels are chosen from {1, 2, …, 32}. Count the unordered selections whose label sum leaves remainder 1 on division by 3.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10a

Find the period.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10b

Find (i) a; (ii) b.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10c

How many returns to maximum clearance occur for 0 < t ≤ 6? Do not count the initial maximum.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10d

Find the first time when the clearance is 1.9 cm.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10e

An observation time is selected uniformly from 0 to 6 seconds. Find the probability that the clearance exceeds 1.9 cm.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11a

For experiment A, show that y² − (4r + 1)y + r² − r = 0.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11b

Using the quadratic for experiment A, show that $y=[4r+1+\sqrt{12r^2+12r+1}]/2$. The relation for experiment A is y² − (4r + 1)y + r² − r = 0.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

Give two different integer pairs (r,y) satisfying experiment A.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11d

For experiment B, express P(B) in terms of y.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11e

One yellow counter is added to the container in experiment B. The probability of exactly one red and two yellow counters becomes 3/2 times its previous value. Find the original y.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12a

Use one Euler step of length 0.05 to estimate y(1.05).

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12b

Solve the differential equation to show that $y=x\sqrt{11x^2-2}$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12c

Evaluate the exact solution at x=1.05. Use the explicit solution $y=x\sqrt{11x^2-2}$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12d

Explain using concavity why the exact value at 1.05 exceeds the one-step Euler estimate. Use $y=x\sqrt{11x^2-2}$ and one forward Euler step from x=1,y=3 of length 0.05.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12e

On $\sqrt{2/11}<x<1$, the solution has an inflexion point P. Sketch an appropriate derivative graph and find the x-coordinate of P. Use the explicit solution $y=x\sqrt{11x^2-2}$.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 12f

The inflexion point P lies in $\sqrt{2/11}<x<1$. Given y^′′ = (−4x⁴ + 2x²y² + 2y⁴)/(x²y³), use this expression to show that P lies on a line y=mx and determine m exactly.