Revolution volumes and areas against y

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 5

The region bounded by the y-axis, y=5, y=10 and y = 30/(x + 2) is rotated through a full turn about the y-axis. Find the resulting solid’s volume.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ3wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 6b

Rotate R through a full turn about the y-axis. Find its volume.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9a

Show that $V=4\pi d\displaystyle\int_{-4}^{2}\sqrt{9-(y+1)^2}\,dy$.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2026, TZ1wzorowane2 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 9b

If V = 135π² cm³, find d exactly.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

For r > 0, consider the right-hand curve 4x² + y⁶ = r⁶, with 0 ≤ x ≤ r³/2. The region between this curve and the vertical axis is rotated through a full turn about that axis. Find its volume in the form aπr^b, with positive rational a, b.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12d

The region $0\leq x\leq\sin^2y$, 0 ≤ y ≤ π/2, is revolved through one full turn about the y-axis. Find the exact volume.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2025, TZ2wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 12f

The tangent y = −5x touches C at B = (x_B, y_B). The region between the vertical line x = −1 and the left-hand arc of C, from height y_B to height y_A, is rotated once about x = −1. Find the resulting volume.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 5

The curve y = 1 + e^x/2 for x≥0, the line y=7 and the y-axis enclose a region. Rotate this region through 2π radians about the y-axis. Find the volume of the resulting solid.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 8

Rotate this region once about the y-axis. Find the resulting volume.

• Materiał graficzny

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ1wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 6

Let $f(x)=\sqrt{2x\cos(x^2)}$ for $0\leq x\leq\sqrt{\pi/2}$. The region below this curve, above the x-axis and between x=0 and $x=\sqrt{\pi/6}$ is rotated through 2π radians about the x-axis. Show that its volume is π/2.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2024, TZ2wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7

The region between the y-axis and the curve y = 3ln(x − 1), bounded by y=0 and y=6, is rotated about the y-axis. Find the volume of the resulting solid.

Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2024wzorowane4 pktobliczenioweśrednie (szac.)

Zadanie 7b

The region under y=f(x), above the x-axis and within the stated interval is rotated through a full turn about the x-axis. Find the volume.

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 7

The region between $y=\arctan x$ and $y=\arctan(x-2)$, cut off by y = 0 and y = π/4, is rotated fully about the y-axis. Find the resulting volume.

Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ1wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 9

Rotate the region between $x=\sqrt{R^2-y^4}$, for $-\sqrt R\le y\le\sqrt R$, and the y-axis about the y-axis, where R>1. A cylindrical bore centred on that axis leaves a ring whose top and bottom are y=h/2 and y=−h/2. The bore has positive radius. If the…

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 6

A bowl’s outer interior wall is obtained by revolving x² + (y − 5)² = 25, x≥0 and h≤y≤5, about the y-axis. Coordinates are centimetres. A solid coaxial cylinder of radius 1 cm occupies the centre; water fills only the annular space outside it. A horizontal base…

Matematyka AA IBPaper 2, maj 2022, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 10c

(i) Show that water at depth h has volume V = π(h³/3 + 3h). (ii) Find the maximum water volume.

Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2022wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 11c

The region bounded by the graph of f and the two coordinate axes is rotated once about the x-axis. Find the volume of the resulting solid.