Zadanie 12d, Paper 2, listopad 2025, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 12(d). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Consider (x2 + xy) dy/dx = x2 + xy − 8y2 on the domain x>0,y>x/3, with y=1 when x=1.
Polecenie
Solve the given differential equation using y=vx and show that its initial-value solution satisfies x8(3y − x)2 = x + 3y.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
Withy =vx,y′=v+xv′, substitution gives (1+v)(v+xv′)=1+v−8v², so (1+v)xv′=1−9v². Separating yields ∫(1+v)/(1−9v²)dv=∫dx/x. Partial fractions give ln x = −(2/9)ln(3v − 1) + (1/9)ln(1 + 3v) + C, valid for v>1/3. At x=1,v=1 the logarithmic terms cancel, so C=0. Thus 9lnx=ln(1+3v)−2ln(3v−1). Substitute v=y/x and exponentiate: x⁹=(1+3y/x)/(3y/x−1)²=x(x+3y)/(3y−x)². Since x>0, rearrangement gives x⁸(3y−x)²=x+3y. The excluded equilibriumv=1/3 cannot satisfy the initial condition.
Schemat punktowania
M1: substitute y=vx and y′=v+xv′. A1: correct transformed equation. A1: correct separated integrals. A1: logarithmic term −(2/9)ln(3v−1). A1: term+(1/9)ln(1+3v). The integration constant may be introduced later when applying the initial condition; its early omission alone does not lose either antiderivative A1. M1: applyx=1,v=1 to find C. A1: correct logarithmic relation after substitution of v=y/x. A1: exponentiate and rearrange to establish the stated implicit solution.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact answers or three significant figures unless directed otherwise. Retain unrounded values during calculation.