Zadanie 6, Paper 2, listopad 2025, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2025, TZ3, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 6. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
Let P(x) = 3x2 + qx + r, with real coefficients and real roots α,β. Division by x+1 leaves remainder 14. Given α2 + β2 = 23/3, find q and r.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
P(−1)=14 gives 3−q+r=14, hence r=q+11. Vieta gives α+β=−q/3,αβ=r/3. Therefore q²/9−2r/3=23/3, or q²−6r=69. Substitute r=q+11 to obtain q²−6q−135=(q−15)(q+9)=0. Candidate pairs are (15,26) and (−9,2). The first has discriminant 225−312<0, contrary to real roots. Thus q=−9,r=2; its discriminant is 57>0.
Schemat punktowania
M1: use the remainder theorem. A1:r−q=11. A1: Vieta sum and product. M1: express α²+β² using their sum/product. A1:q²−6r=69. M1: solve the resulting equations. A1:q=−9,r=2, excluding the pair with nonreal roots. Alternative substitution into the two root equations receives equivalent method credit.
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact answers or three significant figures unless directed otherwise. Retain unrounded values during calculation.