Informacja do zadań 1a-1g. For A>0, define FA(x)=(x(3x²-A))/(2(x²+A)) on the real line. The investigation first studies this curve family and then a related differential equation. Zadanie 1f. Consider 4x²dy/dx=3x²+8xy-4y² with x ≠ 0, y ≠ 3x/2 and y ≠ -x/2. Under the substitution y=vx, this becomes xdv/dx=(3/2-v)(v+1/2). Hence show that a solution relation is x²=|(A(y+x/2))/(3x/2-y)| for some A>0.

Zadanie 1f, Paper 3, maj 2025, TZ2, Matematyka AA IB HL

5 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 3, maj 2025, TZ2

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2025, TZ2, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(f). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

For A > 0, define $F_A(x)=\frac{x(3x^2-A)}{2(x^2+A)}$ on the real line. The investigation first studies this curve family and then a related differential equation.

Polecenie

Consider $4x^2\frac{dy}{dx}=3x^2+8xy-4y^2$ with x ≠ 0, y ≠ 3x/2 and y ≠ −x/2. Under the substitution y = vx, this becomes $x\frac{dv}{dx}=(3/2-v)(v+1/2)$ .

Hence show that a solution relation is $x^2=\left|\frac{A(y+x/2)}{3x/2-y}\right|$ for some A > 0.

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Ocena AI

Pro

Zdjęcie kartki albo tekst. Punkty według schematu CKE.

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

3 darmowe sprawdzenia po założeniu konta, bez karty.

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

Separate variables: $\int dx/x=\int dv/[(3/2-v)(v+1/2)]$ . Using part (e), $\ln|x|=\frac12\ln|A(v+1/2)/(3/2-v)|$ . Multiply by 2 and use 2ln ∣x∣ = ln x², then exponentiate to obtain x² = ∣A(v + 1/2)/(3/2 − v)∣. Substitute v = y/x and multiply numerator and denominator by x, yielding x² = ∣A(y + x/2)/(3x/2 − y)∣.

Schemat punktowania

M1: separate and integrate. A1: correct logarithmic relation. M1: apply a logarithm power rule. A1: correctly exponentiate. A1: restore y/x and simplify to the requested relation. Incorrect or missing absolute values cap the score at four marks; the final accuracy mark is unavailable.

Komentarz. Paper 3: calculators permitted. Give reproducible algebra or numerical work. Round final numerical answers to three significant figures unless stated otherwise.

Filtry

Zadanie 1f, Paper 3, maj 2025, TZ2, Matematyka AA IB HL

Zadanie

Korepetytor

Sprawdź się

Jak poszło?

Jak poszło?

Ocena AI

Odpowiedź z klucza

Schemat punktowania

Umiejętności w zadaniu

Jak poszło?

Ocena AI