Zadanie 2e, Paper 3, listopad 2023, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2023, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 2(e). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
This investigation concerns intersecting curve families. In 2a, take parabolas y=kx², where k≠0; work locally where x,y≠0. In 2b–2d use Ea : x2/(a2 + 9) + y2/a2 = 1 for a>0 and Hb : x2/(9 − b2) − y2/b2 = 1 for 0<b<3. In 2e–2f a tangent of finite slope f is rotated anticlockwise through an angle α; where its new slope is finite, .
Polecenie
Now take f=−2x/y and α=π/4, working locally where x>0, y≠0 and y+2x≠0. (i) Show that g=(y−2x)/(y+2x). (ii) Solve the homogeneous equation y′=(y−2x)/(y+2x) and give its general implicit form h(x,y)=d. You may use .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
(i) tan(π/4)=1, so g=[−2x/y+1]/[1+2x/y]=(y−2x)/(y+2x). (ii) Put y=vx; then y′=v+xv′ and v + xv′ = (v − 2)/(v + 2). Rearranging gives xv′ = −(v2 + v + 2)/(v + 2). The quadratic is always positive, so no real constant-v solution is lost. Separate: . Write v+2=(2v+1)/2+3/2. With the supplied integral, . Back-substitute v=y/x and combine logarithms using x>0 to obtain . This describes local solution arcs on the specified domain.
Schemat punktowania
(i) A1:substitute f and tanα into the rotation formula. A1:correct simplification to the given g. (ii) M1:use y=vx. A1:y′=v+xv′. A1:correct substituted equation. M1:collect into one rational expression for xv′. A1:correct −(v²+v+2)/(v+2). M1:separate variables. A1:correct logarithmic term and −lnx. A1:correct arctangent term using the supplied integral. A1:correct implicit relation in x,y including an arbitrary constant. Equivalent locally valid forms are accepted.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Exact claims and proofs require analytical working. Counts of intercepts mean distinct real points, unless repeated roots are explicitly requested.