Zadanie 1e, Paper 3, listopad 2023, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2023, Paper 3 (zadania wzorowane), pytanie 1(e). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
Investigate the real curves y = Fa,b(x) = x4 + ax2 + b, where a,b are real and a≠0. An x-axis intercept is counted once even if its root is repeated. A repeated real root is a real value of x for which both F(x)=0 and F′(x)=0.
Polecenie
For a<0, show that the stationary points are P = (0, b) and .
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
F′=4x³+2ax=2x(2x²+a). Since a<0, it vanishes at 0 and ±√(−a/2). F(0)=b. At either nonzero stationary point, x²=−a/2 and x⁴=a²/4; hence F=a²/4−a²/2+b=b−a²/4. This gives all three stated points.
Schemat punktowania
A1:correct derivative. M1:solve its zero equation, or verify all supplied abscissas. A1:all three correct abscissas/zero checks. M1:substitute a nonzero stationary abscissa using x²=−a/2. A1:correct ordinate simplification. The final substitution marks are independent of the earlier derivative marks. For the verification route, M1 is awarded for attempting substitution of at least one supplied abscissa into the derivative; the A1 requires the correct zero checks for all supplied abscissas. Do not withhold the attempt mark merely because not all checks were completed.
Komentarz. Paper 3: calculator and AA HL formula booklet allowed. Exact claims and proofs require analytical working. Counts of intercepts mean distinct real points, unless repeated roots are explicitly requested.