Matematyka AA IB HL — listopad 2023, Paper 3 (zadania wzorowane)

Zadania wzorowane na pytaniach z tego arkusza: te same umiejętności, format i punktacja, inne dane i kontekst. Treści arkusza IB nie publikujemy.

W bazie 14 zadań z tego arkusza, razem 55 punktów, każde z kluczem i schematem punktowania.

IB Mathematics AA (egzaminy od 2021) · 14 zad. w bazie

Rozwiąż arkuszwynik na końcuDodaj cały arkusz do zestawu

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1a

Set a=−4. By varying b systematically or otherwise, find the two b values for which F has a repeated real root.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1b

For a=−4, state the b values giving (i) no x-axis intercepts; (ii) four distinct x-axis intercepts.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1c

Now set a=4. State the b values giving (i) exactly one intercept; (ii) no intercepts; (iii) exactly two intercepts.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane1 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1d

If F has four distinct x-axis intercepts, state where its local maximum and its two local minima lie relative to the x-axis.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1e

For a<0, show that the stationary points are P = (0, b) and $Q_\pm=(\pm\sqrt{-a/2},b-a^2/4)$ .

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1f

Assume a<0 and b>a²/4. For P = (0, b) and $Q_\pm=(\pm\sqrt{-a/2},b-a^2/4)$ : (i) find F″ and classify each stationary point; (ii) state whether these points lie above or below the x-axis.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1g

Assume a>0, so P=(0,b) is the only stationary point. (i) When b>0, state its type and position relative to the x-axis. (ii) For this positive a, state the condition on b placing P below the x-axis.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 1h

Prove that a<0 and 0<b<a²/4 imply exactly four distinct x-axis intercepts.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane4 pktobliczeniowetrudne (szac.)

(i) Express the slope of y=kx² using only x,y. (ii) Hence show its orthogonal trajectories satisfy y′=−x/(2y). (iii) Solve this differential equation to show that these trajectories have equation x²+2y²=C, with constant C.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2b

For a=4 and b=√5, sketch x²/25 + y²/16 = 1 and x²/4 − y²/5 = 1 on common axes. Label each curve and its x-intercepts. Intersection coordinates are not required.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2c

Solve E_a and H_b simultaneously to show that their four intersections have coordinates $\left(\pm\sqrt{(a^2+9)(9-b^2)}/3,\ \pm ab/3\right)$ , where the two signs are independent.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2d

Show that E_a and H_b intersect orthogonally at their first-quadrant intersection M. You may use x_M² = (a² + 9)(9 − b²)/9 and y_M² = a²b²/9.

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane11 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2e

Now take f=−2x/y and α=π/4, working locally where x>0, y≠0 and y+2x≠0. (i) Show that g=(y−2x)/(y+2x). (ii) Solve the homogeneous equation y′=(y−2x)/(y+2x) and give its general implicit form h(x,y)=d. You may use…

Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2023wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)

Zadanie 2f

For a fixed finite nonzero f, use the rotation formula to prove $\lim_{\alpha\to\pi/2^-}g=-1/f$ .