Zacznij za darmoZacznij

Zadanie 12e, Paper 2, maj 2022, TZ2, Matematyka AA IB HL

7 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 2, maj 2022, TZ2

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2022, TZ2, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 12(e). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Wspólne informacje do wiązki zadań

A network-adoption model uses a continuous variable P(t), the number of active terminals at time t in months. Its differential equation is dP/dt = k(P − H)(1 − P/N) with constants k>0 and 0<H<P₀<N, where P₀=P(0). H is an activation threshold and N the long-term capacity. Consider the increasing branch H<P<N.

Polecenie

Solve the differential equation with P(0)=P₀ and show that k(1−H/N)t=ln⁡ ⁣[P−HP0−HN−P0N−P]k(1-H/N)t=\ln\!\left[\frac{P-H}{P_0-H}\frac{N-P_0}{N-P}\right].

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

Separate ∫N/[(P−H)(N−P)] dP=∫k dt\int N/[(P-H)(N-P)]\,dP=\int k\,dt. Partial fractions give N/[(P−H)(N−P)]=NN−H[1/(P−H)+1/(N−P)]N/[(P-H)(N-P)]=\frac{N}{N-H}[1/(P-H)+1/(N-P)]. Integration yields NN−H[ln⁡(P−H)−ln⁡(N−P)]=kt+C\frac{N}{N-H}[\ln(P-H)-\ln(N-P)]=kt+C. Set t=0,P=P₀ to determine C; subtract the initial equation and multiply by (N−H)/N. Combine logarithms to obtain the displayed expression. Positivity follows from H<P₀,P<N.

Schemat punktowania

M1:separate variables. M1:partial-fraction decomposition. A1:correct two coefficients N/(N−H). A1:positive logarithm and kt with constant. A1:negative logarithm of N−P. M1:apply P(0)=P₀. A1:correct subtracted logarithms leading to the stated result. Equivalent substitution U=P−H followed by a standard logistic solution, or a linear equation for 1/(P−H), receives corresponding method/accuracy marks.

Komentarz. Paper 2: graphic display calculator and AA HL formula booklet allowed. Show setup; give three significant figures unless specified otherwise. Credit valid equivalent methods and appropriate follow-through.

Umiejętności w zadaniu

Pliki cookies

Zapisujemy na Twoim urządzeniu to, bez czego serwis nie działa, np. zalogowanie. Plików analitycznych użyjemy tylko za Twoją zgodą. Szczegóły w polityce prywatności.