Zadanie 12c, Paper 2, maj 2026, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ3, Paper 2 (zadania wzorowane), pytanie 12(c). Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Wspólne informacje do wiązki zadań
For x,y>0 consider dy/dx = 2y3 − y/x, with y(1)=1. Write y=f(x) for the positive solution branch through that point.
Polecenie
Hence solve the differential equation explicitly. You may use z = −1/(4y2).
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
The linear equation z′−2z/x=1 has integrating factor exp(∫−2/x dx)=x⁻². Thus (z/x²)′=x⁻² and z/x²=−1/x+C, giving z=Cx²−x. At x=1,y=1, z=−1/4, hence C=3/4. Substituting back gives 1/y²=4x−3x². Since y>0, on the branch containing x=1. Alternatively z=vx reduces the linear equation to x v′−v=1; separating gives v=Cx−1 and the same solution.
Schemat punktowania
M1: find an integrating factor or reduce via z=vx. A1: factor x⁻² or equation xv′=1+v. A1: correct integration setup. A1: correct integrated relation. M1: use the initial condition to determine the constant. M1: substitute back for z in terms of y. A1: positive solution 1/√(4x−3x²).
Komentarz. Paper 2: calculator and AA HL formula booklet allowed. Give exact values or three significant figures unless specified otherwise. Show reproducible equations, numerical integrals or distribution inputs.