Construct rigorous arguments by induction or contradiction, and explain why a counterexample refutes a general statement.
Tę umiejętność sprawdzają 22 zadania wzorowane na arkuszach IB z lat 2022–2026.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by mathematical induction that the product n(n+1)(n+2) is divisible by 6 for every positive integer n.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2026, TZ3wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by induction that ∑j=n+22n+11/j≥9/20 for every integer n≥2.
Matematyka AA IBPaper 3, maj 2025, TZ3wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)
For m ≠ 1, prove by mathematical induction that f∘n(x)=c(1−mn)/(1−m)xmn for every positive integer n.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ1wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove the proposed inequality by mathematical induction, using part (a).
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2025, TZ2wzorowane6 pktobliczenioweśrednie (szac.)
Prove by contradiction that t+t9≥6 for every real t > 0.
Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2025, TZ3wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Use mathematical induction to prove Fn′(x)=cosx∏k=1n−1[1+Fk(x)2]−1 for all positive integers n.
Matematyka AA IBPaper 2, listopad 2025, TZ3wzorowane5 pktobliczenioweśrednie (szac.)
Prove by contradiction that u/v + v/u ≥ 2 for all positive real u,v.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ1wzorowane7 pktobliczenioweśrednie (szac.)
Using mathematical induction and (rn)=n!/[r!(n−r)!], prove ∑r=2n(2r)=(3n+1) for every integer n≥2.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2024, TZ2wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by induction that for every positive integer n, fa(n)(x)=22nn!an(2n+1)!(1−ax)−(2n+3)/2.
Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2024wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Consider the general recurrence un+1 = run − d, with r,d>0 and r≠1. Prove by induction that un=u1rn−1−dr−1rn−1−1 for every integer n≥1.
Matematyka AA IBPaper 3, maj 2023, TZ1wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove the conjecture by mathematical induction. You may assume limx→∞xme−x2=0 for every fixed m≥0.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2023, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by mathematical induction that ∑r=1n(r+2)!r2+3r+1=23−(n+2)!n+3 for every integer n≥1.
Matematyka AA IBPaper 2, maj 2023, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by contradiction that p2 − 12q − 5 ≠ 0 for every pair of integers p,q.
Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ1wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by induction that 72n − 33n is divisible by 22 for every positive integer n.
Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2023, TZ2wzorowane7 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by induction that 72n − 33n is divisible by 22 for every positive integer n.
Matematyka AA IBPaper 3, maj 2022, TZ1wzorowane8 pktobliczeniowetrudne (szac.)
A weighted version of the counter scheme has Dr(n)=∑j=1nj(2rj+1), for positive integers r,n. Prove by mathematical induction that Dr(n) = n(n + 1)[2r(2n + 1) + 3]/6.
Matematyka AA IBPaper 3, maj 2022, TZ2wzorowane2 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Using (u − v)2 + (v − w)2 + (w − u)2 = 2(q2 − 3pr)/r2, prove that q²<3pr forces at least one original root α,β,γ to be nonreal.
Matematyka AA IBPaper 3, maj 2022, TZ2wzorowane3 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Consider Fc(x) = x3 + cx2 − 6x + 1, where c is real. You may use the sufficient condition: a real cubic x³+px²+qx+r, r≠0, has a nonreal root if q²<3pr. A student claims that q²≥3pr guarantees all roots are real. (i) By varying the positive integer c, find the…
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ1wzorowane6 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Integers a,b satisfy that a2 + 3b2 is divisible by 8. Prove by contradiction that a,b cannot both be odd.
Matematyka AA IBPaper 1, maj 2022, TZ2wzorowane5 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by contradiction that 3x3 + 6x2 + 9x + 2 = 0 has no integer root.
Matematyka AA IBPaper 3, listopad 2022wzorowane9 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Define F0(x)=∑i=1nx2i−1 and Fq(x) = xFq−1′(x) for q≥1. (i) Show that F2(x)=∑i=1n(2i−1)2x2i−1. (ii) Prove by induction on q that Fq(x)=∑i=1n(2i−1)qx2i−1 for q≥1. (iii) Write F_q(1) in sigma notation.
Matematyka AA IBPaper 1, listopad 2022wzorowane10 pktobliczeniowetrudne (szac.)
Prove by mathematical induction that argwn=arctan((n+1)2) for every integer n≥0. You may use arctana+arctanb=arctan((a+b)/(1−ab)) when a,b>0 and ab<1.