Zadanie 7. Prove by mathematical induction that ∑r=1ⁿ(r²+3r+1)/((r+2)!)=3/2-(n+3)/((n+2)!) for every integer n≥1.

For n=1, the left side is 5/6 and the right is 3/2−4/6=5/6. Assume the formula for n=k. Add the next term to obtain 3/2-(k+3)/((k+2)!)+(k²+5k+5)/((k+3)!)=3/2+(-(k+3)²+k²+5k+5)/((k+3)!)=3/2-(k+4)/((k+3)!). This is the formula for k+1. Therefore it holds for all n≥1 by induction.

Zadanie 7, Paper 1, maj 2023, TZ2, Matematyka AA IB HL

7 pktobliczeniowetrudne (szac.)Paper 1, maj 2023, TZ2

Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2023, TZ2, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 7. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.

Zapisz zadanie

Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.

Zadanie

Polecenie

Prove by mathematical induction that $\sum_{r=1}^n\frac{r^2+3r+1}{(r+2)!}=\frac32-\frac{n+3}{(n+2)!}$ for every integer n≥1.

Korepetytor

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.

Wypróbuj za darmo

3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się

Sprawdź się

Jak poszło?

Ocena AI

Pro

Zdjęcie kartki albo tekst. Punkty według schematu CKE.

Załóż konto i sprawdź odpowiedź

3 darmowe sprawdzenia po założeniu konta, bez karty.

Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie

Odpowiedź z klucza

For n=1, the left side is 5/6 and the right is 3/2−4/6=5/6. Assume the formula for n=k. Add the next term to obtain $\frac32-\frac{k+3}{(k+2)!}+\frac{k^2+5k+5}{(k+3)!}=\frac32+\frac{-(k+3)^2+k^2+5k+5}{(k+3)!}=\frac32-\frac{k+4}{(k+3)!}$ . This is the formula for k+1. Therefore it holds for all n≥1 by induction.

Schemat punktowania

R1:verify both sides at n=1. M1:state a valid induction hypothesis. M1:split the k+1 sum into the first k terms and next term. A1:substitute the hypothesis and correct new numerator. A1:combine over (k+3)!. A1:simplify to the k+1 expression. R1:valid induction conclusion, requiring at least four preceding marks. Merely writing let n=k does not earn the hypothesis M1; subsequent marks are independently available.

Komentarz. Paper 1: no calculator. AA HL formula booklet allowed. Give exact answers with supporting steps.

Umiejętności w zadaniu

Induction, contradiction and counterexamples Ćwicz podobne