Zadanie 9, Paper 1, maj 2026, TZ3, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — maj 2026, TZ3, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 9. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
Prove by induction that for every integer n≥2.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
At n=2 the sum is 1/4+1/5=9/20. Assume Sₖ≥9/20 for an integer k≥2. Then Sk+1 = Sk − 1/(k + 2) + 1/(2k + 2) + 1/(2k + 3). Both added reciprocals exceed 1/(2k+4), so their sum exceeds 2/(2k+4)=1/(k+2). Hence Sₖ₊₁>Sₖ≥9/20. Equivalently the increment is (3k + 4)/[(k + 2)(2k + 2)(2k + 3)] > 0. The base case and induction step prove the claim for all integers n≥2.
Schemat punktowania
R1: correct base case. M1: explicit assumption of the inequality at n=k. M1: consider the n=k+1 sum. A1: correctly relate it to Sₖ or to the lower bound. M1: compare/combine the added and removed reciprocal terms. A1: correct simplified positive increment or correct reciprocal comparison. A1: conclude the next sum is at least 9/20. R1: valid induction conclusion, awarded only if at least four of the preceding seven marks are earned. Subsequent marks remain available if the base or hypothesis mark is lost.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact answers and show reasoning. Equivalent valid methods earn corresponding credit unless a method is specified.