Zadanie 6, Paper 1, listopad 2023, TZ1, Matematyka AA IB HL
Wzorowane na: Matematyka AA IB HL — listopad 2023, TZ1, Paper 1 (zadania wzorowane), pytanie 6. Treść, dane i kontekst są zmienione; sprawdzane umiejętności, format i punktacja jak w oryginale.
Darmowe konto pozwoli wrócić do niego później.
Zadanie
Polecenie
Prove by induction that 72n − 33n is divisible by 22 for every positive integer n.
Korepetytor
Nie wiesz, jak ruszyć? Korepetytor zna to zadanie i poprowadzi Cię krok po kroku, bez gotowca.
3 rozmowy · bez karty · Zaloguj się
Sprawdź się
Jak poszło?
Pokaż rozwiązanieUkryj rozwiązanie
Odpowiedź z klucza
For n=1,49−27=22. Assume 7^(2k)−3^(3k)=22s for an integer s. At k+1, 72k+2 − 33k+3 = 49 ⋅ 72k − 27 ⋅ 33k = 49(72k − 33k) + 22 ⋅ 33k = 22(49s + 33k). The bracket is an integer, so the assertion propagates from k to k+1. With the base case, induction proves it for all positive integers.
Schemat punktowania
A1:valid base case. M1:explicit induction hypothesis. M1:consider the k+1 expression. A1:correct extraction of 49 and 27. A1:rewrite to expose the assumed difference. A1:factor 22 from an integer expression. R1:valid induction conclusion, requiring at least four of the preceding six marks. An equivalent rearrangement using27 times the hypothesis is accepted.
Komentarz. Paper 1: no calculator; AA HL formula booklet allowed. Give exact answers and show the algebra, proof or calculus requested.